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Interi ciclotomici (I)

Algebra 

Si chiamano “interi ciclotomici”  i numeri della forma Forma generale degli interi ciclotomici, dove i vari ak sono interi, anche negativi e Radice p-esima dell’unità è una radice p-esima dell’unità, con p primo dispari, quindi è un numero di de Moivre. Gli interi ciclotomici sono pertanto numeri algebrici e in generale complessi.

 

Ogni intero ciclotomico può essere espresso in un unico modo come somma di potenze di radici p-esime dell’unità con coefficienti interi ed esponenti da 0 a p – 2; la rappresentazione cessa di essere unica se si includono le potenze con esponente p – 1, perché le potenze non sono più linearmente indipendenti.

 

Si dice “norma” di un intero ciclotomico il prodotto Formula per la norma di un intero ciclotomico.

 

Somme, differenze e prodotti di interi ciclotomici sono ancora interi ciclotomici, mentre i quozienti in generale non lo sono; queste, con altre semplici proprietà, come l’esistenza di un’unità, fa sì che gli interi ciclotomici costituiscano quello che tecnicamente si chiama anello.

 

Alcune proprietà:

Somma delle potenze di una radice dell'unità uguale a zero;

Proprietà di una radice dell'unità;

Proprietà di un intero ciclotomico è un numero reale non negativo;

dati due interi ciclotomici Definizione di un intero ciclotomicoDefinizione di un intero ciclotomico tali che αp = βp, vale l’identità Identità che coinvolge interi ciclotomici, per 0 < n < p;

la norma di un intero ciclotomico è un numero razionale non negativo;

se αpβp = γp, allora Np)Np) = Np).

 

Tra gli interi ciclotomici esiste l’equivalente dei numeri primi; numeri diversi dall’unità, che non possono essere espressi come prodotto di altri interi ciclotomici.

Alcuni grandi matematici, commisero l’errore di supporre unica la scomposizione in fattori primi degli interi ciclotomici. Cauchy e Lamé in particolare proposero dimostrazioni dell’ultimo teorema di Fermat, sfortunatamente non valide, perché basate su questa errata ipotesi. Il minimo primo per il quale la fattorizzazione degli interi ciclotomici non è unica è 23.

Kummer introdusse i numeri ideali per rimediaree ottenere campi nei quali la fattorizzazione fosse unica.

 

W. Ethan Duckworth dimostrò nel 2007 che la fattorizzazione degli interi ciclotomici è unica per p = 7.

Vedi anche

Numeri di de Moivre.

Bibliografia

  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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