Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Socievoli infinito-unitari (numeri)

Teoria dei numeri 

La definizione dei numeri socievoli infinito-unitari è uguale a quella dei numeri socievoli, considerando però la somma dei soli divisori infinito-unitari, cioè con σ*(n) al posto di σ(n).

Due o più numeri naturali si dicono quindi “socievoli infinito-unitari” se la somma dei divisori infinito-unitari di ognuno (escluso il numero stesso) è uguale al successivo e la somma dei divisori infinito-unitari dell’ultimo (sempre escludendo il numero stesso) è uguale al primo, formando un ciclo. Si dice “ordine” di un ciclo il numero di elementi che lo compongono.

 

I numeri socievoli infinito-unitari sono una generalizzazione dei numeri perfetti infinito-unitari, che formano cicli di ordine 1, e dei numeri amichevoli infinito-unitari, che formano cicli di ordine 2.

 

Il minimo esempio di ordine maggiore di 2 è il ciclo di ordine 4 (1026, 1374, 1386, 1494): σ*(1026) – 1026 = 1374, σ*(1374) – 1374 = 1386, σ*(1386) – 1386 = 1494, σ*(1494) – 1494 = 1026.

 

Il massimo ciclo noto è di ordine 4: 206030585870346237008001932494747040853329419618306917842761685753864092163678642994920448419065669234917669183971051147530955263418165854464558153763267454511089526032454672183875555028072549892080724681403067818165273121679085040206928123379240977254568908338079334601962595741362289988768675952964258600974703727871169127579192646815774879913089146828394868460377368363226871338282545812003239093041033387969224932954537892162627166460807239097720057809998325227218881753630908962786564924863708637981141135975900834598849061943444297466069168035084996947405238450994424173525192895012615324982203060457491020248856285342802945274542451160835479075600423210690068630951218343166332241640161856165332970629393399548079586228858360338699982773913991370272720960193880857032736353260884423349632403702146363297507265823617105600129895305657063245326325278326462224171492785374702951797987887778904595918406054140163542051449013934290897985854870469261331226899251200000000000000000000000000000000000000000, 226633670679170959333010852013437263083573746601583813237588228952431261001781128702165117601165253460700847203248048919158101054002937208956143381103677917045610390305749577541983387876881054864840780032245545948937615891792847072609257549147180537018713514898771655799201142197443924359357509607187651327609989359927765997460920563288618287693949909251019986700427483295112858893059555579031923119335509703093865733752738118525394387180271019500103574363828040443727484434312498684133047763463436345592170234337982597172745559017077375004498505598104825196732569478670537249316676052900097366148370693779291306974898339064846307092732455964080447338327888791887874245208016968841321072085643681902491501345812397010005440419248711360107795718041055933680026725709461463262593352849041892199840662579617664812972821606635259317269953595463511253923889173587491162047102893951341263693011328106003360201950393716864658303323124025572857260031244760212391924544307200000000000000000000000000000000000000000, 249297063968878153890520663483996507536842506283188398171897426470855146723693862980134253701474796109062343024452746467947961423646185698896887131178129425833583341006373973435902004010570410334876840918172271892787192938917985308251819917491914052759272582115533209116163543299133722167005226626833383326908803555190022554330821271408746036252896747915907616764482609720187445203314266322763475548259433649730970614630758367524438329971681177942725442573040727181886947383062247377614178885923136823964302242536272536004031705798073760296770776917426636270992633609114261632687307526576327611431155090433271622373544598159094005092741461247649912427328100931205460420890495457083808785575673690213365885133873294218123880028678097483656389956580826953428063067776600130115436052396015107935069747344836096479984932967955228406124017714250604063381209458374622993710274013385643406777537112465812000913849167251235886180384645125983012461625256480258558691953868800000000000000000000000000000000000000000,

274707442000063849649733970822059272661125585041865622988004386644445287413408274791504459149822444023825467556210314272958151403614675635053826557914560224440694498783261909991896233960540899859762747823492496791119071838250812602857762694854540089219716829844798137749940730570272963235755575479746352164291201579546118846300299384245196302153107340717907462081833740463066206135277004374709127653612406078108362508938773536850946332153657861798601963574924459704339239114770434433700347378459754440905318184686869628550907284618083808223242797211333034028854360782975527640602709667042104764716726896770865541509329174859789912079226432728411434244096692445335914007676807392808808409679890110415860575582862386618079915956810143787702684883721840621168064909259353915926629945622941669685010978601249225466517503498010264543033845127711475063976226733895642362126776862713122154238378372249826504626385020150732553391547749979531670764341852349231791063653416960000000000000000000000000000000000000000 (Derek Ball, 2004).

 

Si conoscono cicli del genere con 1, 2, 3, 4, 6, 7, 10, 11, 12, 14, 21, 22, 23, 25, e 85 elementi.

La tabella seguente riporta il minimo numero noto per le varie lunghezze di ciclo.

Ordine

Numero di cicli noti

Minimo numero

1

Circa 200

6

2

Oltre 11000000

114

3

5

10805839200

4

5032

1026

6

91

12420

7

8

6781839072751008

8

7

310827840

10

1

8852712180

11

5

448800

12

5

907646418

14

2

3628601802

21

1

7154199780

22

1

26509606140

23

1

12647808

25

1

9979770660

85

1

17878998

 

I cicli noti di ordine 3 sono:

  • 10805839200, 11889764640, 16920820800, 270733132800 (David Moews, 2001);

  • 1236299876697600, 1360312168849920, 1935917079782400 (Derek Ball, 2001);

  • 3229029115880269724595272992195274553960219491325056023197905301012480000000000, 3552930549209328734519334244188121119437719346646897896707316741308416000000000, 5056323901968898284692406567369246003064787817810432300204170957291520000000000 (Derek Ball, 2001);

  • 22095903391799094211146632905579668100772004179263902071589392815274896392192000000, 24312326509232983620163432542640611983888760068958287300740724634707271509606400000, 34599887596582472072056147006027711763158517514694792317667737181215321489408000000 (Derek Ball, 2001);

  • 3082267769323284137244900193941286728976087431770805359820274713449498750590625799705894997920652984320000000000, 3391447684573324065722477283046397098550304889954029128206310810460513115029196598521924400450994438144000000000, 4826510890735356135394237765037791647170035893012920659156059682347514315090666286860917008966017351680000000000 (Derek Ball, 2001).

 

I cicli di ordine 4 con l’elemento minimo inferiore a 106 sono:

  • 1026, 1374, 1386, 1494 (Henri Cohen, 1990);

  • 10098, 15822, 19458, 15102 (Henri Cohen, 1990);

  • 10260, 13740, 13860, 14940 (Henri Cohen, 1990);

  • 41800, 51800, 66760, 83540 (Henri Cohen, 1990);

  • 45696, 101184, 94656, 88944 (Henri Cohen, 1990);

  • 100980, 158220, 194580, 151020 (Henri Cohen, 1990);

  • 241824, 321216, 331584, 313056 (Henri Cohen, 1990);

  • 685440, 1517760, 1419840, 1334160 (Henri Cohen, 1990).

Qui trovate tutti i cicli noti di ordine 4 (4 Mbyte).

 

I cicli di ordine 6 con l’elemento minimo inferiore a 106 sono:

  • 12420, 16380, 17220, 23100, 26820, 18180 (Henri Cohen, 1990);

  • 512946, 869454, 891906, 933918, 933930, 769374 (Henri Cohen, 1990);

  • 830568, 1245912, 1868928, 3288192, 5447088, 1076832 (Henri Cohen, 1990).

Qui trovate tutti i cicli noti di ordine 6.

 

I cicli noti di ordine 7 sono:

  • 6781839072751008, 7045747855818336, 7266387596628384, 7290664500472416, 7290664525765152, 7784518373680608, 8321382468578592 (Derek Ball, 2005);

  • 11946328989940800, 12411208960113600, 12799869750158400, 12842633943921600, 12842633988475200, 13712566240900800, 14658261801019200 (Derek Ball, 2005);

  • 67818390727510080, 70457478558183360, 72663875966283840, 72906645004724160, 72906645257651520, 77845183736806080, 83213824685785920 (Derek Ball, 2005);

  • 775912601903703796224, 806106498918713169408, 831349969537640458752, 834127498674755163648, 834127501568506016256, 890629494609871425024, 952052305188595032576 (Derek Ball, 2005);

  • 1366783716090535142400, 1419970797553288780800, 1464437615716710835200, 1469330282218403404800, 1469330287315796505600, 1568859543350722022400, 1677056906158771737600 (Derek Ball, 2005);

  • 7759126019037037962240, 8061064989187131694080, 8313499695376404587520, 8341274986747551636480, 8341275015685060162560, 8906294946098714250240, 9520523051885950325760 (Derek Ball, 2005);

  • 316572341576711148859392, 328891451558834973118464, 339190787571357307170816, 340324019459300106768384, 340324020639950454632448, 363376833800827541409792, 388437340516946773291008 (Derek Ball, 2005);

  • 4748585123650667232890880, 4933371773382524596776960, 5087861813570359607562240, 5104860291889501601525760, 5104860309599256819486720, 5450652507012413121146880, 5826560107754201599365120 (Derek Ball, 2005).

 

I cicli noti di ordine 8 sono:

  • 310827840, 384485760, 636819840, 1643492160, 2258946240, 2541316560, 1778922000, 656674800 (David Moews, 2001);

  • 1095447416, 1259477224, 1156962296, 1330251784, 1221976136, 1127671864, 1245926216, 1213138984 (Akin Flammenkamp, 1990);

  • 446942545728, 513866707392, 472040616768, 542742727872, 498566263488, 460090120512, 508337896128, 494960705472 (Pedersen, 1998);

  • 670413818592, 770800061088, 708060925152, 814114091808, 747849395232, 690135180768, 762506844192, 742441058208 (Pedersen, 1998);

  • 6704138185920, 7708000610880, 7080609251520, 8141140918080, 7478493952320, 6901351807680, 7625068441920, 7424410582080 (Pedersen, 1998);

  • 5089905181889421136064168745089311781863443386384917999249635169709082893330539985645759937402107625335685120000000000, 5852056023206962594557825436444911049104946926421191099110287724260755032058824643338354064207880046436679680000000000, 5375728948418170622342066919120806876050525659168572878521066485503463177023939073961470241709492255032606720000000000, 6180904121644527168227550241108148487481634087967521828720565301743931704939849451969136370453478703502458880000000000, 5677810341168956684201465286195176150838412702914620874325856353191497562577438607471142360237425905127915520000000000, 5239633395643066243160026580760500021601320384129832756573855201047640103295075182084036567125151741095444480000000000, 5789092393158083095507389373178817019932006893454379011721899745095711166584787782777805187914017430170501120000000000, 5636749250421042170182097933053322099678993022975480599913172986252718858745102607789319751672951542256762880000000000 (Derek Ball, 2000);

  • 50899051818894211360641687450893117818634433863849179992496351697090828933305399856457599374021076253356851200000000000, 58520560232069625945578254364449110491049469264211910991102877242607550320588246433383540642078800464366796800000000000, 53757289484181706223420669191208068760505256591685728785210664855034631770239390739614702417094922550326067200000000000, 61809041216445271682275502411081484874816340879675218287205653017439317049398494519691363704534787035024588800000000000, 56778103411689566842014652861951761508384127029146208743258563531914975625774386074711423602374259051279155200000000000, 52396333956430662431600265807605000216013203841298327565738552010476401032950751820840365671251517410954444800000000000, 57890923931580830955073893731788170199320068934543790117218997450957111665847877827778051879140174301705011200000000000, 56367492504210421701820979330533220996789930229754805999131729862527188587451026077893197516729515422567628800000000000 (Derek Ball, 2000).

 

L’unico ciclo noto di ordine 10 è: 8852712180, 11218247820, 15842385780, 18295738380, 22378040820, 16204797180, 15975401220, 10748598780, 10748598900, 9339833100 (David Moews, 2001).

 

I cicli noti di ordine 11 sono:

  • 448800, 696864, 1124448, 1651584, 3636096, 6608784, 5729136, 3736464, 2187696, 1572432, 895152 (Henri Cohen, 1990);

  • 6732000, 10452960, 16866720, 24773760, 54541440, 99131760, 85937040, 56046960, 32815440, 23586480, 13427280 (Pedersen, 1998);

  • 13478939514, 16772396166, 20499595434, 15151875606, 23329079274, 23339638806, 28343261802, 28343261814, 37261402506, 29133610614, 20218409226 (David Moews, 2001);

  • 134789395140, 167723961660, 204995954340, 151518756060, 233290792740, 233396388060, 283432618020, 283432618140, 372614025060, 291336106140, 202184092260 (Pedersen, 2001);

  • 353052100355069103213351140075301351146817344684269757602070570677302501540567445938636556726122324322421204582400000000000000, 439317179830295087219327434531487380726701503846866106124936038739569678883657502829090895147454519878809655705600000000000000, 536943222935727194701534718892747899762058944329621427112199196385696063003921747588362670239095724471352714854400000000000000, 396871096680925092800492208872393604951397799518256723303695517639513214227433568073458677051703258268135168409600000000000000, 611055523209435974668500681129696740201828065487786984953115243267439291138168176903814064502975824448002090598400000000000000, 611332107650481531804724557220521790774651494692274516597515447336588973164013171822124764977651113054657157529600000000000000, 742391350574444068254416741713812559630911697810348284563610507940612252851586721934247382528636299253826925363200000000000000, 742391350888758499286652416049238891962742963995360125415116022844345565066198535236194762367856985937996572262400000000000000, 975983044011375876872054552010640530449612772195330063908899065709101419165532186151772630991713309291582167449600000000000000, 763092853671176018164001999319810895548726687862258322239911667746749214158616714346117450922524440889930442342400000000000000, 529578149353924538449142931355103280475858768832610233209960175126953831506056869025652160692105911417995631001600000000000000 (Derek Ball, 2005).

 

I cicli noti di ordine 12 sono:

  • 907646418, 1397488302, 1027784370, 1451826510, 2032557186, 2837085054, 3135725826, 3434680062, 2810193138, 2119970862, 1413313938, 1208649582 (David Moews, 2001);

  • 12758820894, 15606041346, 14125684734, 12780381666, 16131719454, 17829795426, 17872820574, 23002072482, 23002072494, 23002072506, 23645633094, 16051419306 (David Moews, 2001);

  • 127588208940, 156060413460, 141256847340, 127803816660, 161317194540, 178297954260, 178728205740, 230020724820, 230020724940, 230020725060, 236456330940, 160514193060 (Pedersen, 2001);

  • 159667021888184447442572243587926213736345131255534811510123482913076600502013132800000, 195297838717328535269816163470407900998836237860560499515489457885558586280719155200000, 176772292075187344048923215720947850159069058057390607959585232268419676483931340800000, 159936838690493276401767701609654576360948066252132206320220481528953145339884339200000, 201876303817943450123768404839853696095560284673833463094938724770464231215385804800000, 223126444065356510243673931331743062753725398538955634268736042368239417909523251200000, 223664871346727701761123795479123778885838372947431472152409932143794926375455948800000, 287853590936778547074035466864736012527587938950780556198163387333531485998573158400000, 287853591086949497710958277900699671933677456303648067582669365188312538853199052800000, 287853591237120448347881088936663331339766973656515578967175343043093591707824947200000, 295907266678155199912957560752831223053787608582574692400320165791958768301165772800000, 200871408021156317124538078575442814400169965558119503517553421349479041064973107200000 (Derek Ball, 2003);

  • 592827986397565401609206343772025211098947644356796829536753606484033029304289917802495249775039342004980940800000000000, 725121713334581060798482993043864500114406499397441490401118472617727863854468343193334768820045885511775027200000000000, 656338176302959022341594215663456628242526068597077229582349893204085037044441383676721277505754299963854028800000000000, 593829789711220178976691233796928029172377391147935849588269411556480969083739816046332008277896234177606451200000000000, 749546908801152198960914176253769335094747387195198974486330771258112165110432637496554981465248184950115532800000000000, 828446594563199909995356997890673477746892897387379127456047754108242288483883810103185055011222417826853683200000000000, 830445722230654823814912614038609527217959597749095369633806284163716337896674744979079880225536460410637516800000000000, 1068772140134637541385836759120378729068264996480026529820820991244226875479117978347789627321509537227630182400000000000, 1068772140692207546943027772958783044963531496267555542866747204748532791305104049412349788991096416319098060800000000000, 1068772141249777552500218786797187360858797996055084555912673418252838707131090120476909950660683295410565939200000000000, 1098674647968739978874732088340461982110461666613659217993293806229576215595599964110697816796115793211083980800000000000, 745815829303935260554623016699583614058715674836708824007874490951603646464397412618474002007756270269051699200000000000 (Derek Ball, 2001).

 

I cicli noti di ordine 14 sono:

  • 3628601802, 3681414198, 3828473802, 4995039798, 3673602666, 4833600534, 7536045546, 9210722454, 7051459146, 7637923254, 8841596586, 8841596598, 6081843402, 5156550198 (David Moews, 2001);

  • 36286018020, 36814141980, 38284738020, 49950397980, 36736026660, 48336005340, 75360455460, 92107224540, 70514591460, 76379232540, 88415965860, 88415965980, 60818434020, 51565501980 (Pedersen, 2001).

 

L’unico ciclo noto di ordine 21 è: 7154199780, 10456151580, 10631928420, 8020583580, 8128260420, 11467259580, 14875524420, 15212549820, 17552943780, 18409189980, 18409190100, 19106688300, 18742755540, 19302248940, 22271827380, 26515211340, 26515211460, 26515211580, 22785866820, 15212482380, 10731299220 (David Moews, 2001).

 

L’unico ciclo noto di ordine 22 è: 26509606140, 26532049380, 26595397020, 27892738500, 30948115260, 30948115380, 47844260940, 61514050740, 61514050860, 83400781140, 102063759660, 68042506740, 78510586380, 84566778420, 84594082380, 84594082500, 41213137500, 55361134500, 76240215900, 70722080100, 35648005020, 35711967300 (David Moews, 2001).

 

L’unico ciclo noto di ordine 23 è: 12647808, 15351192, 16962408, 19915992, 21854808, 23676192, 33199008, 37349088, 53357472, 48642528, 65845536, 75482400, 115207008, 164583072, 130186728, 146578272, 165434832, 96060528, 21259872, 16388328, 30267672, 45730008, 41073552 (Henri Cohen, 1990).

 

L’unico ciclo noto di ordine 25 è: 9979770660, 10014917340, 10045669380, 10055151420, 10138625700, 9997754460, 10975327140, 11089084380, 15257731620, 15257731740, 15498026340, 15507736860, 23203472100, 18430806300, 14379369540, 15629752380, 19393236420, 19397920380, 21680030820, 27874326300, 20441173140, 13627449060, 14362021020, 14606456100, 13597095900 (David Moews, 2001).

 

L’unico ciclo noto di ordine 85 è: 17878998, 17879010, 25030686, 25030698, 41075670, 57863562, 57863574, 38872026, 25914714, 33938982, 38222298, 25481562, 27697638, 27817242, 27817254, 21382746, 33692070, 47466042, 57537990, 57538170, 64389510, 64389690, 64389870, 107317170, 180498510, 300831570, 502584750, 767507346, 946924974, 631283346, 466601454, 381765186, 354547134, 246105666, 164070474, 164070486, 111022794, 82061046, 101435274, 123976566, 101743434, 82594566, 42827058, 36799182, 33294738, 37622382, 48371730, 78275118, 90723282, 104680878, 107393106, 107393118, 151392162, 151392174, 169203234, 170428254, 170428266, 227165334, 284460906, 284460918, 396647562, 396647574, 398924826, 400707174, 516734106, 539817894, 581884506, 737587494, 516814506, 292820694, 298295274, 300619734, 300619746, 287474334, 380387682, 290885238, 267443082, 216049158, 194549562, 130167558, 87184602, 66671118, 44584002, 29846718, 25119522 (Pedersen, 1998).

 

Le ricerche hanno sicuramente individuato tutti i cicli nei quali il numero precedente il massimo del ciclo è superiore a 2 • 1011.

 

Non si conoscono casi di cicli di numeri socievoli infinito-unitari aumentati o ridotti di ordine diverso da 2 (v. numeri amichevoli infinito-unitari aumentati e numeri amichevoli infinito-unitari ridotti), nonostante siano stati esaminati tutti i cicli nei quali il numero precedente il massimo del ciclo è superiore a 2 • 1011.

Vale a dire che gli unici cicli noti di numeri naturali nei quali la somma dei divisori infinito-unitari di ognuno (escluso il numero stesso) più o meno uno è uguale al successivo e la somma dei divisori infinito-unitari dell’ultimo (sempre escludendo il numero stesso) più o meno uno è uguale al primo, formando un ciclo, sono di lunghezza 1 e 2.

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