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Si possono definire i divisori infinito-unitari per estensione dei divisori unitari, bi-unitari, tri-unitari ecc..

Per ogni primo p, px è divisore infinito-unitario di py se è divisore (y – 1)-unitario di py; un divisore d di n è divisore infinito-unitario se tutti i suoi fattori che siano potenze di primi sono divisori infinito-unitari delle potenze dei corrispondenti fattori primi di n. In altri termini, un divisore d di n è divisore infinito-unitario, se è divisore (k – 1)-unitario di n, dove k è l’esponente della massima potenza di un primo che compaia nella scomposizione di n.

 

I divisori infinito-unitari di una potenza pn di un primo p sono le potenze di p della forma Potenze di p che sono divisori infinito-unitari di p^n, dove Rappresentazione di n in base 2 è la rappresentazione di n in base 2 (e i vari ak sono 0 o 1) e 0 ≤ bkan (ovvero bk è 0 se ak è 0, 0 o 1 altrimenti).

Questo, insieme col fatto che la funzione è moltiplicativa, permette di calcolarla, a partire dalla scomposizione in fattori primi degli argomenti.

 

Se p è primo:

  • p è divisore infinito-unitario di pn se e solo se n è dispari.

  • pm è divisore infinito-unitario di pn se e solo se p2m è divisore infinito-unitario di p2n.

  • pm è divisore infinito-unitario di pn se e solo se Coefficiente binomiale C(n, m) è dispari;

  • se pm è divisore infinito-unitario di pn, m è multiplo della massima potenza di 2 che divide n;

  • se pm è divisore infinito-unitario di pn e se pn è divisore infinito-unitario di pk, allora pm è divisore infinito-unitario di pk;

 

La somma dei divisori infinito-unitari di n si indica con σ*(n) ed è una funzione moltiplicativa.

Se la rappresentazione in base 2 di n è Rappresentazione di n in base 2, con i vari ak uguali a 0 o 1, il numero di divisori infinito-unitari di pn è Numero di divisori infinito-unitari di p^n e Somma dei divisori infinito-unitari di p^n, dove il prodotto va calcolato per i valori di k per i quali ak = 1.

Per esempio, σ*(12) = 1 + 3 + 4 +12 = 20. Sono esclusi 2 e 6, perché nella loro scomposizione figura il fattore 2 alla prima potenza, ma 12 = 223, la rappresentazione dell’esponente 2 in base 2 è 102, quindi 2 può figurare come fattore dei divisori infinito-unitari solo al quadrato.

 

La tabella seguente riporta i valori di σ*(n) per n fino a 20.

n

σ*(n)

1

1

2

3

3

4

4

5

5

6

6

12

7

8

8

15

9

10

10

18

11

12

12

20

13

14

14

24

15

24

16

17

17

18

18

30

19

20

20

30

 

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