Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Interi di Eisenstein

Teoria dei numeri 

Gli interi di Eisenstein, detti anche “interi di Eisenstein – Jacobi”, sono i numeri della forma a + ωb, dove Formula per la definizione di ω è una delle tre radici cubiche dell’unità (v. ω), con a e b interi. Sono quindi interi algebrici di secondo grado.

Prendono il nome da Ferdinand Gotthold Max Eisenstein (Berlino, 16/4/1823 – Berlino, 11/10/1852).

 

Costituiscono una struttura algebrica tecnicamente chiamata anello: come nel caso di interi ordinari, la somma, la differenza e il prodotto tra interi di Eisenstein sono sempre interi di Eisenstein, ma la divisione tra interi di Eisenstein dà un intero di Eisenstein solo in alcuni casi.

 

Hanno importanti applicazioni nella teoria dei numeri.

 

Il coniugato di un intero di Eisenstein a + ωb è il complesso coniugato a + ω2b = ab – ωb (e non a – ωb).

 

Si chiama “norma” di un intero di Eisenstein z = a + ωb il quadrato del suo modulo cioè zz =|a + ωb|2 = a2ab + b2. La norma di un intero di Eisenstein è un intero positivo, in particolare un numero di Lösch.

 

Tra gli interi di Eisenstein si considerano “unità” quelli con norma 1, ovvero i numeri: ±1, ±ω, ±ω2.

 

Dato un intero di Eisenstein x, si chiamano “associati” i 6 numeri:

  • x,

  • ωx,

  • ω2x,

  • x,

  • –ωx,

  • –ω2x.

 

Si chiamano “primi di Eisenstein” gli interi di Eisenstein diversi dalle unità che non sono il prodotto di altri interi di Eisenstein diversi dalle unità. I numeri associati a un primo di Eisenstein e i loro coniugati sono primi di Eisenstein.

 

I primi ordinari non sono necessariamente a primi di Eisenstein:

  • 3 si scompone come –ω2(1 – ω)2;

  • i primi della forma 3k + 1 sono il prodotto di due primi di Eisenstein, uno coniugato dell’altro;

  • i primi della forma 3k + 2 sono primi di Eisenstein.

 

Eisenstein dimostrò che la scomposizione in fattori primi degli interi di Eisenstein è unica, definendo un opportuno criterio di scelta tra gli associati.

 

Ogni numero complesso si trova a distanza (sul piano complesso) non superiore a Limite superiore per la distanza tra un intero di Eisenstein e un multiplo di n da un multiplo di un intero di Eisenstein fissato n.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.