Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Grimm (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

C.A. Grimm propose nel 1969 su The American Mathematical Monthly una congettura solo in apparenza banale: dati n interi composti consecutivi maggiori di zero, ciascuno è divisibile per un primo differente.

Per esempio, considerando gli 11 interi composti da 200 a 210, abbiamo che:

  • 200 è divisibile per 5;

  • 201 è divisibile per 67;

  • 202 è divisibile per 101;

  • 203 è divisibile per 29;

  • 204 è divisibile per 17;

  • 205 è divisibile per 41;

  • 206 è divisibile per 103;

  • 207 è divisibile per 23;

  • 208 è divisibile per 13;

  • 209 è divisibile per 19;

  • 210 è divisibile per 7.

Da notare che 7 divide anche 203, ma per questo numero abbiamo scelto 29, quindi 7 può essere utilizzato per dividere un altro numero.

Nel cercare di assegnare i divisori, può essere necessario a volte tornare sui propri passi; per esempio, se avessimo utilizzato 2 per dividere 200, 3 per dividere 201, 5 per dividere 205 e 7 per dividere 207, non avremmo più avuto a disposizione un primo differente che divida 210.

La congettura afferma che esiste sempre una possibile scelta dei primi, ma non suggerisce un modo per trovarli.

 

Nella ricerca, come notò lo stesso Grimm, si possono eliminare i numeri multipli di un primo maggiore di n, perché si può scegliere per il suo multiplo quel primo, che non può dividerne altri nell’insieme. In questo modo restano relativamente pochi numeri a contendersi i primi rimasti: non si conoscono insiemi di n interi consecutivi tra i quali ve ne siano più di 10 che abbiano tutti i fattori pimi non superiori a n. L’unico caso di 10 interi del genere noto è quello degli interi compresi tra i primi 31397 e 31469, perché 10 tra i 71 interi composti dell’intervallo hanno tutti i fattori primi non maggiori di 71:

  • 31407 = 3 • 192 • 29,

  • 31416 = 23 • 3 • 7 • 11 • 17,

  • 31423 = 7 • 672,

  • 31433 = 17 • 432,

  • 31434 = 2 • 3 • 132 • 31,

  • 31447 = 13 • 41 • 59,

  • 31450 = 2 • 52 • 17 • 37,

  • 31460 = 22 • 5 • 112 • 13,

  • 31464 = 23 • 32 • 19 • 23,

  • 31465 = 5 • 7 • 29 • 31.

 

S. Laishram e T.N Shorey verificarono nel 2006 la congettura sino a 19236701629.

 

Ramachandra, Shorey e Robert Tijdeman dimostrarono che, supponendo vera l’ipotesi di Schinzel, esiste al massimo un numero finito di eccezioni.

 

Shanta Laishram e M. Ram Murty dimostrarono nel 2012 che il numero g(n) tale che almeno g(n) interi successivi a n siano divisibili per altrettanti primi distinti cresce meno di nα, dove 0.45 < α < 0.46.

 

Paul Erdös e J.L. Selfridge dimostrarono nel 1971 che la congettura di Grimm implica che la differenza tra un primo p e il successivo sia minore di Differenza minima tra primi consecutivi implicata dalla congettura di Grimm, per p sufficientemente grande, mentre l’ipotesi di Riemann implica solo che la differenza sia minore di Differenza minima tra primi consecutivi implicata dall'ipotesi di Riemann e gli esperti ritengono vera la ben più forte congettura di Cramér.

La stessa congettura di Cramér implica che la congettura di Grimm sia vera per n abbastanza grande.

 

Non è stata dimostrata neppure una versione più debole, che afferma che dati n interi composti consecutivi, il loro prodotto ha almeno n fattori primi distinti.

La condizione che i numeri siano composti è indispensabile, perché altrimenti vi sono eccezioni: per esempio, il prodotto di 2, 3 e 4 ha solo due fattori primi distinti (2 e 3) e il prodotto di 2, 3, 4, 5, e 6 ne ha solo 3 (2, 3 e 5).

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.