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Amichevoli bi-unitari (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “amichevoli bi-unitari” i numeri amichevoli, considerando però la somma dei soli divisori bi-unitari, cioè con σ**(n) al posto di σ(n).

Quindi n e m sono amichevoli bi-unitari se σ**(m) = σ**(n) = m + n.

Per esempio, la somma dei divisori bi-unitari di 114 è 1 + 2 + 3 + 6 + 19 + 38 + 57 + 114 = 240, la somma dei divisori bi-unitari di 126 è 1 + 2 + 7 + 9 + 14 + 18 + 63 + 126 = 240 e 240 = 114 + 126.

 

Peter Hagis dimostrò nel 1971 che:

  • due numeri amichevoli bi-unitari hanno la stessa parità.

  • se sono entrambi pari, il numero di fattori primi dispari distinti di ciascuno non supera l’esponente della massima potenza di 2 che li divide entrambi.

  • se (m, n) è una coppia di numeri amichevoli bi-unitari tali che m = ab, n = ac, con MCD(a, b) = MCD(a, c) = 1 ed esiste un intero d tale che dσ**(a) = aσ**(d), e MCD(d, b) = MCD(d, c) = 1, allora (db, dc) è una coppia di interi amichevoli bi-unitari; per esempio, (998104 = 8 • 124763, 1043096 = 8 • 130387) è una coppia di interi amichevoli bi-unitari e dato che 144σ**(8) = 8σ**(144) = 2160, anche (17965872 = 144 • 124763, 18775728 = 144 • 130387) è una coppia di interi amichevoli bi-unitari;

  • se (m, n) è una coppia di numeri amichevoli unitari tali che m = ab, n = ac, con MCD(a, b) = MCD(a, c) = 1 e b e c non multipli di cubi ed esiste un intero d tale che dσ*(a) = aσ**(d), e MCD(d, b) = MCD(d, c) = 1, allora (db, dc) è una coppia di interi amichevoli bi-unitari; per esempio, (241110 = 135 • 1786, 242730 = 135 • 1798) è una coppia di interi amichevoli unitari e dato che 2925σ*(135) = 135σ**(2925) = 491400, anche (5224050 = 2925 • 1786, 5259150 = 2925 • 1798) è una coppia di interi amichevoli bi-unitari;

  • se (m, n) è una coppia di numeri amichevoli tali che m = ab, n = ac, con MCD(a, b) = MCD(a, c) = 1, tutti gli esponenti dei primi nella scomposizione di b e c sono dispari ed esiste un intero d tale che dσ(a) = aσ**(d), e MCD(d, b) = MCD(d, c) = 1, allora (db, dc) è una coppia di interi amichevoli bi-unitari; per esempio, (15938055 = 45 • 354179, 17308665 = 45 • 384637) è una coppia di interi amichevoli e dato che 450σ(45) = 45σ**(450) = 35100, anche (159380550 = 450 • 354179, 173086650 = 450 • 384637) è una coppia di interi amichevoli bi-unitari.

 

Le coppie di amichevoli bi-unitari col minore della coppia inferiore a 106 sono:

  • 114, 126;

  • 594, 846;

  • 1140, 1260;

  • 3608, 3952;

  • 4698, 5382;

  • 5940, 8460;

  • 6232, 6368;

  • 7704, 8496;

  • 9520, 13808;

  • 10744, 10856;

  • 12285, 14595;

  • 13500, 17700;

  • 41360, 51952;

  • 44772, 49308;

  • 46980, 53820;

  • 60858, 83142;

  • 62100, 62700;

  • 67095, 71145;

  • 67158, 73962;

  • 73360, 97712;

  • 79650, 107550;

  • 79750, 88730;

  • 105976, 108224;

  • 118500, 131100;

  • 141664, 153176;

  • 142310, 168730;

  • 177750, 196650;

  • 185368, 203432;

  • 193392, 195408;

  • 217840, 267600;

  • 298188, 306612;

  • 308220, 365700;

  • 356408, 399592;

  • 399200, 419800;

  • 415264, 446576;

  • 462330, 548550;

  • 545238, 721962;

  • 600392, 669688;

  • 608580, 831420;

  • 609928, 686072;

  • 624184, 691256;

  • 627440, 865552;

  • 635624, 712216;

  • 643336, 652664;

  • 669900, 827700;

  • 671580, 739620;

  • 699400, 774800;

  • 726104, 796696;

  • 785148, 827652;

  • 796500, 1075500;

  • 815100, 932100;

  • 818432, 844768;

  • 839296, 874304;

  • 898216, 980984;

  • 930560, 1231600;

  • 947835, 1125765;

  • 998104, 1043096.

Qui trovate le coppie di numeri amichevoli bi-unitari col minore degli elementi inferiore a 109 (M. Fiorentini, 2014).

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