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Socievoli bi-unitari (numeri)

Teoria dei numeri 

La definizione dei numeri socievoli bi-unitari è uguale a quella dei numeri socievoli, considerando però la somma dei soli divisori bi-unitari, cioè con σ**(n) al posto di σ(n).

Due o più numeri naturali si dicono quindi “socievoli bi-unitari” se la somma dei divisori bi-unitari di ognuno (escluso il numero stesso) è uguale al successivo e la somma dei divisori bi-unitari dell’ultimo (sempre escludendo il numero stesso) è uguale al primo, formando un ciclo. Si dice “ordine” di un ciclo il numero di elementi che lo compongono.

 

I numeri socievoli bi-unitari sono una generalizzazione dei numeri perfetti bi-unitari, che formano cicli di ordine 1, e dei numeri amichevoli bi-unitari, che formano cicli di ordine 2.

 

I cicli con elemento massimo minore di 100000 sono:

  • (162, 174, 186, 198), (1026, 1374, 1386, 1494), (1620, 1740, 1860, 1980), (10098, 15822, 19458, 15102), (10260, 13740, 13860, 14940), (41800, 51800, 66760, 83540), (51282, 58158, 62802, 76878) di ordine 4;

  • (12420, 16380, 17220, 23100, 26820, 18180), di ordine 6;

  • (6534, 8106, 10518, 10530, 17694, 11826, 13038, 14178, 16062, 16074, 12726, 11754, 7866), di ordine 13.

 

Non è noto se iterando la funzione σ** si finisca sempre in un ciclo o con un numero perfetto bi-unitario, cioè se si possa proporre per le sequenze aliquot bi-unitarie una congettura analoga a quella di Catalan – Dickson.

Peter Hagis esaminò tutti i numeri minori di 105, trovando che in ben 15395 casi si arrivava a numeri maggiori di 1012, limite oltre il quale l’indagine si arrestava. Il minimo intero del quale non si conosce l’esito è 2160, che produce 1301270618226 dopo 306 iterazioni.

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