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Ipotesi di Schinzel

Congetture  Teoria dei numeri 

La congettura proposta da Andrzej Schinzel e nota come “ipotesi H di Schinzel” afferma che dati k polinomi irriducibili a coefficienti interi p1(n), p2(n), ... pk(n), con il coefficiente del termine di grado massimo positivo e tali che non esista un primo che divida tutti i valori assunti dal loro prodotto al variare di n tra gli interi (condizione di Bunyakovsky, v. congettura di Bunyakovsky), esistono infiniti valori interi positivi di n che li rendono simultaneamente primi.

 

La condizione che i termini di grado massimo di ogni polinomio abbiano coefficiente positivo può essere sostituita dal considerare il valore assoluto degli interi prodotti, sempre per evitare problemi con gli interi negativi.

 

La congettura combina, in un certo senso, quella di Hardy e Littlewood, relativa a soli polinomi di primo grado, con quella di Bunyakovsky, relativa a un solo polinomio.

E’ una versione più debole della congettura di Bateman – Horn, in quanto non asserisce nulla sul numero dei primi che i polinomi generano.

 

Dalla congettura, se vera, seguono alcune interessanti conseguenze:

  • ogni intero si può esprimere come (p + 1) / (q + 1), con p e q primi;
  • esistono infiniti valori di n tali che σ(d(n)) = d(σ(n)), perché dalla congettura segue che esistono infiniti valori di p per i quali (p^2 + p + 1) / 3 è primo, e per questi d(σ(p2)) = d(p2 + p + 1) = d(3q) = 4 e σ(d(p2)) = σ(3) = 4.

 

I valori di n inferiori a 1000 per i quali σ(d(n)) = d(σ(n)) sono: 1, 3, 44, 49, 66, 68, 70, 76, 99, 121, 124, 147, 153, 164, 169, 170, 171, 172, 243, 245, 268, 275, 279, 361, 363, 387, 425, 475, 507, 529, 564, 603, 620, 644, 652, 724, 775, 841, 844, 845, 873, 891, 927, 948, 961, 964.

Qui trovate tutti i valori di n inferiori a 106 tali che σ(d(n)) = d(σ(n)) (Charles R Greathouse IV, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Sembrerebbe che siano infiniti anche quelli non della categoria sopra indicata.

 

La tabella seguente mostra i primi p inferiori a 1000 per i quali (p^2 + p + 1) / 3 è primo.

p

q

7

19

13

61

19

127

31

331

43

631

73

1801

97

3169

103

3571

127

5419

157

8269

199

13267

223

16651

241

19441

271

24571

409

55897

421

59221

661

145861

673

151201

727

176419

859

246247

883

260191

937

292969

 

Nel 2012 Zhi-Wei Sun propose una versione ancora più forte, aggiungendo due condizioni: fissati i polinomi, se qn è l’n-esimo intero che li rende simultaneamente primi, per n abbastanza grande Formula per la congettura di Zhi Wei SunFormula per la congettura di Zhi Wei Sun è strettamente crescente.

Bibliografia

  • Sun, Zhi-Wei;  "Conjectures involving arithmetical sequences" in Number Theory: Arithmetic in Shangri-La, Singapore, World Scientific Publishing Company, Proceeding of 6th China-Japan Seminar, editori Shigeru Kanemitsu, Hongze Li e Jianya Liu, 2013.

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