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Lévy (costante di)

Rappresentazione dei numeri 

Nel 1935 il matematico russo Aleksandr Yakovlevich Khinchin (Kondrovo, Russia, 19/7/1894 – Mosca, 18/11/1959) dimostrò che se la frazione continua che approssima un numero reale troncata al termine n-esimo è indicata con Termine n-esimo della rappresentazione tramite frazione continua, esiste finito il limite Limite la cui esistenza fu dimostrata da Khinchin per quasi tutti i reali (più precisamente, per tutti tranne un insieme di misura di Lebesgue nulla).

Paul Pierre Lévy (Parigi, 15/9/1886 – Parigi, 15/12/1971) dimostrò nel 1936 che tale limite è Formula per la costante di Lévy per quasi tutti i reali (più precisamente, per tutti tranne un insieme di misura di Lebesgue nulla).

Qui trovate le prime 1001 cifre decimali della costante di Lévy.

 

La costante è chiamata “costante di Lévy”, mentre l’esponente che compare nella formula, Formula per la costante di Khinchin – Lévy, è chiamato “costante di Khinchin – Lévy” (ma talvolta anche “costante di Lévy”, creando confusione tra i due valori).

Qui trovate le prime 1001 cifre decimali della costante di Khinchin – Lévy.

 

La costante di Khinchin – Lévy si può ottenere come rapporto tra due somme, con una formula molto simile a una legata alla costante di Catalan: Formula per la costante di Khinchin – Lévy, perché il numeratore è uguale a π^2 / 12 e il denominatore è log2 ≈ 0.6931471806.

La costante è anche uguale a Formula per la costante di Khinchin – Lévy (R.M. Corless, 1992).

 

Alle voci espansione di Lehmer, frazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni della costante di Lévy.

 

La frequenza media del valore n tra i termini di una frazione continua tende, per quasi tutti i reali, a Frequenza media del valore n, quindi il valore più frequente è 1, i valori crescono senza limite, ma i valori alti sono molto rari.

La tabella seguente mostra la frequenza attesa per i valori da 1 a 20.

n

Frequenza (approssimata)

1

0.4150374993

2

0.1699250014

3

0.0931094044

4

0.0588936891

5

0.0406419845

6

0.0297473434

7

0.0227200765

8

0.0179219080

9

0.0144995697

10

0.0119726417

11

0.0100536647

12

0.0085620135

13

0.0073795304

14

0.0064262692

15

0.0056465631

16

0.0050006811

17

0.0044596482

18

0.0040019306

19

0.0036112536

20

0.0032751320

 

Gauss aveva già scoperto questo risultato, scrivendone a Laplace, ma senza pubblicarlo; la dimostrazione fu ricostruita da R.O. Kuzmin nel 1928 e da Lévy l’anno seguente, per altra via.

 

Gustav Locks dimostrò nel 1967 quello che da allora è noto come “teorema di Locks” sulle approssimazioni tramite frazioni continue: per quasi tutti i reali tra 0 e 1, Formula per il teorema di Locks, vale a dire che la frazione fornisce poco più di una cifra decimale corretta per ogni ulteriore termine considerato. Da notare che 10 è la massima base nella quale questo si verifichi: se usassimo la base 11, il numero di cifre per ogni termine aggiuntivo (ottenuto sostituendo 11 a 10 nella formula) tenderebbe a poco meno di 1.

La costante è uguale alla costante di Khinchin – Lévy moltiplicata per 2 / log(10).

 

Queste dimostrazioni valgono per quasi tutti i reali; restano esclusi i numeri razionali, gli irrazionali quadratici e alcune costanti con sviluppo particolarmente regolare, come e. Viceversa non conosco nessuna costante non artificialmente costruita per la quale sia stato dimostrato che i termini si comportano come previsto; per molte costanti, come π, si ritiene molto probabile che la frazione continua abbia il comportamento previsto, ma una dimostrazione appare estremamente ardua.

 

Anche nel caso delle frazioni continue centrate esiste una costante analoga alla costante di Levy, cioè il limite della radice n-esima del denominatore della frazione ottenuta troncando la frazione continua dopo n termini; in questo caso il valore è Limite cui tende la radice n-esima del denominatore della frazione n-esima.

Qui trovate le prime 1001 cifre decimali della costante.

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