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Tribonacci (costante di)

Sequenze 

La costante di Tribonacci è il limite al quale tende il rapporto di numeri di tribonacci consecutivi e più in generale il limite al quale tende il rapporto di numeri di una sequenza nella quale ogni termine sia la somma dei tre precedenti, indipendentemente dal valore dei termini iniziali.

 

Feinberg dimostrò che è la radice reale positiva dell’equazione x3x2x – 1 = 0, cioè Formula per la definizione della costante di tribonacci; è pertanto un numero algebrico di terzo grado.

Qui trovate le prime 1001 cifre decimali della costante di Tribonacci.

 

Una rappresentazione tramite radicali continui è Rappresentazione della costante di tribonacci tramite radicali continui.

 

Una frazione continua legata alla costante è: Frazione continua legata alla costante di Tribonacci, dove Formula per la definizione di q (per una frazione continua simile v. costante plastica).

 

Come φ, anche la costante di Tribonacci compare in serie convergenti a π: Serie convergente a π che coinvolge la costante di tribonacci.

 

Una curiosa approssimazione per (χ + 1) / χ è data da Approssimazione per (χ + 1) / χ (6 cifre decimali corrette).

 

La costante di Tribonacci è legata anche a un’altra curiosità matematica: si inizi con 4 numeri reali positivi qualsiasi { a, b, c e d } e li si rimpiazzi con i valori assoluti delle loro differenze, in ordine ciclico: |ab|, |bc|, |cd|, |da|. Ripetendo il procedimento, si arriva, in genere piuttosto rapidamente, a quattro zeri, tranne per alcune combinazioni dei valori iniziali, precisamente solo quelle costituite da { a + b, a + bχ, a + bχ2, a + bχ3 } e da { a, a + bχ2, a + bχ2 + bχ, a + bχ3 }, per qualsiasi valore non negativo di a e b.

Nel primo caso al primo passaggio si ottengono i numeri: { b(χ – 1), bχ(χ – 1), b(χ + 1), bχ(χ + 1) }; un po’ di algebra permette di dimostrare che il rapporto tra ciascuno dei primi 3 numeri e il successivo è 1 / χ e resta inalterato dopo ogni passaggio, il massimo dei 4 restando fissato al quarto posto.

Nel secondo caso al primo passaggio si ottengono i numeri: { bχ2, bχ, b, bχ3 }; in questo caso i rapporti tra 3 di questi numeri e quello ciclicamente successivo è χ e la situazione si ripresenta dopo ogni passaggio, mentre il massimo dei 4 cambia ciclicamente posizione a ogni passaggio.

 

Come generalizzazione si  possono definire le costanti di n-bonacci come limite cui tende il rapporto di numeri consecutivi delle sequenze di n-bonacci (v. numeri di tribonacci).

Fissato n, la corrispondente costante è la radice reale positiva dell’equazione Equazione per il calcolo delle costanti di n-bonacci.

L’equazione si può riscrivere come (2 – x)xn = 1 e quindi come Equazione per il calcolo delle costanti di n-bonacci, da cui si vede che le costanti tendono a 2 al crescere di n.

 

La tabella seguente mostra i primi valori (approssimati).

n

Costante di n-bonacci

2

1.6180339887

3

1.8392867552

4

1.9275619755

5

1.9659482366

6

1.9835828434

7

1.9919641966

8

1.9960311797

9

1.9980294703

10

1.9990186327

11

1.9995104020

12

1.9997555009

13

1.9998778327

14

1.9999389387

15

1.9999694754

16

1.9999847393

17

1.9999923701

18

1.9999961852

19

1.9999980926

20

1.9999990463

 

Alle voci espansione di Lehmerfrazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni della costante di tribonacci e delle costanti di n-bonacci per n fino a 10.

Bibliografia

  • Honsberger, Ross;  Ingenuity in Mathematics, The Mathematical Association of America, 1970.

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