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Incroci rettilinei (costante degli)

Geometria  Matematica combinatoria  Teoria dei grafi 

E’ il limite Limite per la definizione della costante degli incroci rettilinei, dove In è il minimo numero di incroci necessari per disegnare sul piano un grafo completo con n nodi, collegando i nodi con segmenti rettilinei. (v. numero di incroci rettilinei).

 

E’ stato dimostrato che Limiti inferiore e superiore per il valore della costante degli incroci rettilinei (il limite inferiore si deve a L. Lovász, K. Vesztergombi, U. Wagner e E. Welzl, 2004, quello superiore a Oswin Aichholzer, Franz Aurenhammer e Hans Krasse, 2002), ma il valore esatto della costante è ancora sconosciuto.

 

La costante ha un incredibile legame con un problema completamente differente: qual è la probabilità che scegliendo quattro punti a caso in un quadrato, nessuno sia contenuto nel triangolo che ha gli altri tre come vertici? In altri termini, qual è la probabilità che possano costituire i vertici di un quadrilatero convesso?

Il problema è noto come problema dei quattro punti di Sylvester ed è stato risolto dimostrando che, per qualunque sottoinsieme convesso del piano, di area finita, la probabilità p è Limiti inferiore e superiore per il valore della probabilità (W.J.E. Blaschke, 1917).

Inoltre la probabilità per una qualsiasi regione R è uguale a Limiti inferiore e superiore per il valore della probabilità, dove AT(R) è l’area media attesa di un triangolo contenuto in R con i vertici scelti casualmente e A(R) è l’area della regione R.

 

Nel caso dei poligoni regolari Rapporto tra le aree nel caso di poligoni regolari (Alikoski, 1939).

La tabella seguente mostra i primi valori del rapporto tra le aree per i poligoni regolari a n lati, che è un numero algebrico di grado Grado del rapporto tra le aree nel caso di poligoni regolari e di conseguenza è razionale solo per n uguale a 3, 4 e 6.

n

Rapporto tra le aree 

3

Rapporto tra le aree per il triangolo equilatero

4

Rapporto tra le aree per il quadrato

5

Rapporto tra le aree per il pentagono regolare

6

Rapporto tra le aree per l'esagono regolare

7

La massima radice dell’equazione 784147392x3 – 84015792x2 + 2125620x – 15289, circa uguale a 0.0741192929

8

Rapporto tra le aree per l'ottagono regolare

9

La massima radice dell’equazione 24794911296x3 – 2525407632x2 + 55366092x – 312427, circa uguale a 0.0739659510

10

Rapporto tra le aree per il decagono regolare

 

 

Il rapporto per il cerchio si ottiene come limite del rapporto per n tendente a infinito ed è Rapporto tra le aree per il cerchio.

 

La formula di Alikoski permette di calcolare esattamente la soluzione del problema di Sylvester in vari casi; in particolare la probabilità è:

  • Probabilità per il triangolo per qualsiasi triangolo (il valore minimo possibile);

  • Probabilità per il parallelogramma per qualsiasi parallelogramma;

  • Probabilità per l'esagono regolare per l’esagono regolare;

  • Probabilità per il cerchio e l'ellisse per il cerchio e l’ellisse (il valore massimo possibile).

 

Se si elimina il requisito della convessità, il massimo si avvicina a piacere a 1: basta prendere una corona circolare ampia e sottile, per avere quasi la certezza che i 4 punti delimiteranno un quadrilatero (più tecnicamente, la probabilità può essere resa vicina a 1 quanto si vuole).

 

La probabilità minima nel caso di sottoinsiemi non convessi è invece la costante degli incroci rettilinei, come dimostrarono E.R. Scheinerman e H.S. Wilf nel 1994.

Vedi anche

Numero di incroci.

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