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Khinchin (costante di)

Rappresentazione dei numeri 

Mentre la sequenza di cifre che rappresenta un numero reale dipende dalla base, il suo sviluppo in frazione continua è una sua proprietà intrinseca, quindi molto più interessante per i matematici.

 

In generale rappresentando x come frazione continua semplice: Rappresentazione di x come frazione continua semplice, i vari qn dipendono da x e per di più ogni sequenza di denominatori rappresenta un numero diverso, quindi sembra impossibile trovare qualche proprietà generale. Tuttavia nel 1934 il matematico russo Aleksandr Yakovlevich Khinchin (Kondrovo, Russia, 19/7/1894 – Mosca, 18/11/1959) dimostrò che se f(n) è una funzione ad argomenti interi, tale che esistano due costanti c e d tali che Limite superiore per i valori della funzione f (ovvero f cresce più lentamente della radice quadrata), allora per quasi tutti i numeri reali Limite della media dei valori della funzione f applicata ai vari q(k).

In particolare, prendendo come funzione f il logaritmo, abbiamo che Limite del logaritmo della media geometrica dei vari q(k), ovvero Limite della media geometrica dei vari q(k). In altre parole, la media geometrica dei vari qn tende alla stessa costante per quasi tutti i reali (più precisamente, per tutti tranne un insieme di misura di Lebesgue nulla).

 

La costante, chiamata “costante di Khinchin” in suo onore, è probabilmente irrazionale, potrebbe essere trascendente.

Qui trovate le prime 1200 cifre decimali della costante (N.J.A. Sloane, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Alle voci espansione di Engel, espansione di Lehmer, frazioni continue e frazioni continue centrate si trovano ottime approssimazioni della costante e di costanti correlate.

Il teorema non vale per tutti i numeri razionali e tutti gli irrazionali quadratici, come φRadice quadrata di 2 e Radice quadrata di 3, né per alcuni tra i più importanti numeri irrazionali, tra i quali e (Lehmer 1939), non si sa se valga per πRadice cubica di 2 e per la stessa costante di Khinchin. Peggio ancora, non conosciamo nessun numero esplicito che soddisfi il teorema, anche se ne possiamo costruirne alcuni scegliendo opportunamente la sequenza qn.

 

Alcune formule per il calcolo della costante:

Formula per il calcolo della costante di Khinchin;

Formula per il calcolo del logaritmo della costante di Khinchin;

Formula per il calcolo del logaritmo della costante di Khinchin;

Formula per il calcolo del logaritmo della costante di Khinchin;

Formula per il calcolo del logaritmo della costante di Khinchin;

Formula per il calcolo del logaritmo della costante di Khinchin;

Formula per il calcolo del logaritmo della costante di Khinchin;

Formula per il calcolo del logaritmo della costante di Khinchin;

Formula per il calcolo del logaritmo della costante di Khinchin;

Formula per il calcolo del logaritmo della costante di Khinchin.

 

Le medie più comuni dei termini qk possono essere ottenute dalla formula Formula per le medie dei vari q(k), che per s = –1, 0, 1, 2, diventa rispettivamente la media armonica, geometrica, aritmetica e quadratica. Per quasi tutti i reali la formula di Khinchin si generalizza per le varie medie: Formula di Khinchin generalizzata, ovvero le varie medie tendono a valori diversi, ma costanti. Per s = 0 queste formule non sono direttamente applicabili e vanno intese come limiti per s tendente a zero.

Per s > 1 le medie divergono a infinito al crescere di n; per s tendente a meno infinito, tendono a 1.

Nel caso della media armonica la costante si chiama “seconda costante di Khinchin”.

 

La tabella seguente riporta i valori per s da 0 a –20.

s

M(s)

0

2.6854520011

–1

1.7454056624

–2

1.4503403285

–3

1.3135070787

–4

1.2369618094

–5

1.1890039265

–6

1.1565523744

–7

1.1333233640

–8

1.1159644090

–9

1.1025431367

–10

1.0918770412

–11

1.0832068294

–12

1.0760251500

–13

1.0699813865

–14

1.0648261285

–15

1.0603774463

–16

1.0564996845

–17

1.0530897141

–18

1.0500677789

–19

1.0473712502

–20

1.0449502751

 

Il calcolo della costante con elevata precisione non è agevole e ha dovuto attendere la diffusione dei calcolatori e forse un momento nel quale le altre costanti erano già note con talmente tante cifre da rendere problematico stabilire nuovi record. R.W. Gosper ne calcolò 2217 cifre nel 1997, poi D. H. Bailey, J.M. Borwein e R. E. Crandall arrivarono nello stesso anno a 7350 e Xavier Gourdon a 110000 l’anno seguente.

 

Anche nel caso delle frazioni continue centrate per quasi tutti i reali la media geometrica dei vari qn tende a un limite finito, dato da Limite cui tende la media geometrica dei denominatori (A.M. Rockett, 1980). La costante può essere espressa anche come Limite cui tende la media geometrica dei denominatori, ma entrambi i prodotti convergono troppo lentamente per permettere un calcolo di parecchie cifre della costante, tuttavia Jérémie Bourdon trovò nel 2007 una serie molto più complessa, ma più efficiente computazionalmente, che gli permise di calcolare 1000 cifre decimali della costante.

Qui trovate le prime 1000 cifre decimali della costante (Jérémie Bourdon, 2007).

Bibliografia

  • Havil, Julian;  Gamma, Princeton, Princeton University Press, 2003 -

    Interessante fonte di informazioni sulla costante γ.

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