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Frazioni continue centrate

Analisi  Rappresentazione dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Irrazionali quadratici espressi tramite frazioni continue centrate
  3. 3. Rappresentazione di alcune costanti tramite frazioni continue centrate
  4. 4. Funzioni espresse tramite frazioni continue centrate

Si chiamano “frazioni continue centrate” le frazioni della forma Forma generale di una frazione continua centrata, nelle quali i vari an sono interi positivi e calcolati, uno alla volta, in modo da rendere minima la differenza tra la frazione e il numero da rappresentare, mentre il segno, positivo o negativo, è scelto di conseguenza a ogni livello.

Come conseguenza della definizione i vari an sono sempre maggiori di 1 per n > 0.

 

Alcuni Autori preferiscono una rappresentazione equivalente del tipo Forma generale di una frazione continua centrata, nella quale non vi sono sottrazioni, ma solo addizioni e i segni dei vari qn possono essere positivi o negativi. Per rappresentare in questa forma un numero reale x si può utilizzare la ricorrenza; Formula per q(0), x0 = xq0, Formula per q(n), Formula per x(n). Partendo invece dalla prima rappresentazione, si inizia con qn = an per tutti i valori di n, poi volta che si trova un termine qn seguito da un segno di sottrazione, si trasforma la sottrazione in addizione e si invertono i due segni al livello successivo.

 

Come nel caso delle frazioni continue, la rappresentazione di un numero reale come frazione continua centrata è unica ed è finita se e solo se il numero è razionale e periodica se e solo se il numero è un irrazionale quadratico, ossia della forma Forma generale di un irrazionale quadratico, con a e b razionali.

 

La notazione è analoga a quella delle frazioni continue, facendo seguire a ogni termine il segno + o –, che indica se sommare o sottrarre la frazione successiva.

 

Data la maggiore flessibilità nella scelta dei termini, in generale si ottiene una maggior precisione a parità di termini, ma le frazioni continue centrate non danno un reale vantaggio, se non nella notazione più compatta, perché le frazioni ottenute troncando l’espansione sono un sottoinsieme di quelle ottenute troncando l’espansione delle corrispondenti frazioni continue semplici.

Per esempio, la frazione continua per Radice cubica di 2 è [ 1; 3, 1, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 8, 1, 14, 1, 10, 2, 1, 4, 12, 2, 3, 2, … ] e le espansioni troncate sono: Frazione ottenuta troncando la rappresentazione come frazione continua semplice della radice cubica di 2, Frazione ottenuta troncando la rappresentazione come frazione continua semplice della radice cubica di 2, Frazione ottenuta troncando la rappresentazione come frazione continua semplice della radice cubica di 2, Frazione ottenuta troncando la rappresentazione come frazione continua semplice della radice cubica di 2, Frazione ottenuta troncando la rappresentazione come frazione continua semplice della radice cubica di 2, Frazione ottenuta troncando la rappresentazione come frazione continua semplice della radice cubica di 2, Frazione ottenuta troncando la rappresentazione come frazione continua semplice della radice cubica di 2, Frazione ottenuta troncando la rappresentazione come frazione continua semplice della radice cubica di 2, Frazione ottenuta troncando la rappresentazione come frazione continua semplice della radice cubica di 2, Frazione ottenuta troncando la rappresentazione come frazione continua semplice della radice cubica di 2, Frazione ottenuta troncando la rappresentazione come frazione continua semplice della radice cubica di 2, Frazione ottenuta troncando la rappresentazione come frazione continua semplice della radice cubica di 2, Frazione ottenuta troncando la rappresentazione come frazione continua semplice della radice cubica di 2, Frazione ottenuta troncando la rappresentazione come frazione continua semplice della radice cubica di 2, Frazione ottenuta troncando la rappresentazione come frazione continua semplice della radice cubica di 2, .... La corrispondente frazione continua centrata è [ 1+; 4–, 7–, 2+, 5–, 2+, 9–, 16–, 11+, 3–, 5+, 12+, 2+, 3+, 3–, 4+, 5–, 2+, 2+, 14+, 3+, … ] e le espansioni troncate sono: Frazione ottenuta troncando la rappresentazione come frazione continua centrata della radice cubica di 2, Frazione ottenuta troncando la rappresentazione come frazione continua centrata della radice cubica di 2, Frazione ottenuta troncando la rappresentazione come frazione continua centrata della radice cubica di 2, Frazione ottenuta troncando la rappresentazione come frazione continua centrata della radice cubica di 2, Frazione ottenuta troncando la rappresentazione come frazione continua centrata della radice cubica di 2, Frazione ottenuta troncando la rappresentazione come frazione continua centrata della radice cubica di 2, Frazione ottenuta troncando la rappresentazione come frazione continua centrata della radice cubica di 2, Frazione ottenuta troncando la rappresentazione come frazione continua centrata della radice cubica di 2, Frazione ottenuta troncando la rappresentazione come frazione continua centrata della radice cubica di 2, Frazione ottenuta troncando la rappresentazione come frazione continua centrata della radice cubica di 2, Frazione ottenuta troncando la rappresentazione come frazione continua centrata della radice cubica di 2, Frazione ottenuta troncando la rappresentazione come frazione continua centrata della radice cubica di 2, Frazione ottenuta troncando la rappresentazione come frazione continua centrata della radice cubica di 2, Frazione ottenuta troncando la rappresentazione come frazione continua centrata della radice cubica di 2, Frazione ottenuta troncando la rappresentazione come frazione continua centrata della radice cubica di 2, ...; tutte queste frazioni sono contenute nel precedente elenco.

 

In alcuni casi la flessibilità aggiuntiva non dà alcun vantaggio: per esempio, nel caso di Radice quadrata di 2 o della costante di Du Bois-Reymond c2 la rappresentazione come frazione continua centrata ha tutti i segni positivi, quindi non è altro che la rappresentazione come frazione continua semplice.

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