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Frazioni continue (costante delle)

Analisi 

Si chiama “costante delle frazioni continue” il numero Formula per la definizione della costante delle frazioni continue.

 

Numeratori e denominatori delle frazioni Frazioni ottenute troncando la frazione continua ottenute troncando lo sviluppo della frazione continua soddisfano la ricorrenza xn + 1 = nxn + xn – 1, con x1 = 0 e x2 = 1 per la sequenza an e x1 = 1 e x2 = 1 per la sequenza bn. Risolvendo le ricorrenze si arriva a dimostrare che la costante è uguale a Formula per il calcolo della costante delle frazioni continue, dove In(x) è una funzione di Bessel modificata di prima specie.

 

La costante è anche uguale a Formula per il calcolo della costante delle frazioni continue.

 

La costante si ritrova anche nello studio di alcune frazioni continue con sequenze di numeratori e denominatori particolarmente semplici.

 

Siegel dimostrò nel 1929 che è trascendente.

 

Qui trovate le prime 1000 cifre decimali della costante.

 

Alla voce espansione di Lehmer trovate un’ottima approssimazione della costante e del suo reciproco.

Alla voce espansione di Engel trovate un’ottima approssimazione del reciproco della costante.

Vedi anche

Frazioni continue.

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