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Perfetti diedri (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “perfetti diedri” i numeri naturali n per i quali σ(n) + d(n) = 2n.

 

I primi numeri perfetti diedri noti sono: 1, 3, 14, 52, 130, 184, 656, 8648, 12008, 34688, 2118656, 33721216, 40575616, 59376256, 89397016, 99523456, 134438912, 150441856, 173706136, 283417216, 537346048, 1082640256, 6801628304, 91707741184, 14451706793984, 102898828936832, 141573123151232, 220346295412352, 619057492909952, 2258918614925312, 3585817801980032, 9007202811510784, 989473186649763328, 1153167823398797312, 1983709193244506192 (Bill McEachen, Jason Earls, Farideh Firoozbakht, Vladeta Jovovic, David Wasserman, Hiroaki Yamanouchi, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Non ve ne sono altri inferiori a 91707741184 (Donovan Johnson, 2008), non si sa se siano infiniti.

 

A parte 1 e 3, l’unico che sia primo, i restanti noti sono il prodotto di una potenza di 2 per uno, due o tre numeri primi distinti.

 

Se p = 2n + 1 + 2n + 1 è primo, 2np è perfetto diedro (Farideh Firoozbakht).

I valori di n inferiori a 300000 che soddisfano la condizione sono: 0, 1, 2, 3, 4, 7, 10, 13, 14, 26, 40, 49, 50, 110, 142, 170, 315, 349, 502, 842, 1251, 1630, 2054, 2906, 3482, 5110, 5227, 5620, 8224, 8788, 8912, 13027, 16243, 17222, 28557, 46532, 54974, 92866, 93093, 120855, 155416 (T.D. Noe, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

La tabella seguente riporta tutti i numeri perfetti diedri di questa forma per n sino a 50.

n

p

2np

1

7

14

2

13

52

3

23

184

4

41

656

7

271

34688

10

2069

2118656

13

16411

134438912

14

32797

537346048

26

134217781

9007202811510784

40

2199023255633

2417851639318318791262208

49

1125899906842723

633825300114170432793740312576

50

2251799813685349

2535301200456572518883997515776

 

Se n = 2kpq è perfetto diedro, con p e q primi, e p < q, allora 2k + 1 < p < 2k + 2 e per ogni primo p vi è al massimo un solo primo q.

 

La tabella seguente riporta tutti i casi per k fino a 26 (T.D. Noe, 2008).

k

p

q

n

1

5

13

130

3

23

47

8648

3

19

79

12008

7

463

569

33721216

7

359

883

40575616

7

307

1511

59376256

7

281

2767

99523456

7

271

4337

150441856

7

263

8419

283417216

7

257

32911

1082640256

10

2153

41597

91707741184

12

8353

422393

14451706793984

15

70233

981683

2258918614925312

15

65543

536928263

1153167823398797312

15

65537

2147516447

4611826823562493952

 

Per ogni valore di k vi è un numero finito di perfetti diedri della forma n = 2kpqr, con p, q e r primi.

 

La tabella seguente riporta tutti i casi per k fino a 13 (T.D. Noe, 2010).

k

p

q

r

n

3

17

139

4729

89397016

3

17

137

9323

173706136

4

37

197

58321

6801628304

7

359

883

2535977

102898828936832

7

467

563

4206739

141573123151232

7

307

1511

3711017

220346295412352

7

281

2767

6220217

619057492909952

7

269

4919

21171379

3585817801980032

9

1061

28603

63680593

989473186649763328

 

Per ora non sono stati trovati numeri perfetti diedri di altre forme e in particolare dispari, o con più di 4 fattori primi distinti o multipli di un quadrato di un primo dispari.

Vedi anche

Funzione d, Funzione σ.

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

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