Si chiamano “perfetti diedri” i numeri naturali n per i quali σ(n) + d(n) = 2n.
I primi numeri perfetti diedri noti sono: 1, 3, 14, 52, 130, 184, 656, 8648, 12008, 34688, 2118656, 33721216, 40575616, 59376256, 89397016, 99523456, 134438912, 150441856, 173706136, 283417216, 537346048, 1082640256, 6801628304, 91707741184, 14451706793984, 102898828936832, 141573123151232, 220346295412352, 619057492909952, 2258918614925312, 3585817801980032, 9007202811510784, 989473186649763328, 1153167823398797312, 1983709193244506192 (Bill McEachen, Jason Earls, Farideh Firoozbakht, Vladeta Jovovic, David Wasserman, Hiroaki Yamanouchi, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).
Non ve ne sono altri inferiori a 91707741184 (Donovan Johnson, 2008), non si sa se siano infiniti.
A parte 1 e 3, l’unico che sia primo, i restanti noti sono il prodotto di una potenza di 2 per uno, due o tre numeri primi distinti.
Se p = 2n + 1 + 2n + 1 è primo, 2np è perfetto diedro (Farideh Firoozbakht).
I valori di n inferiori a 300000 che soddisfano la condizione sono: 0, 1, 2, 3, 4, 7, 10, 13, 14, 26, 40, 49, 50, 110, 142, 170, 315, 349, 502, 842, 1251, 1630, 2054, 2906, 3482, 5110, 5227, 5620, 8224, 8788, 8912, 13027, 16243, 17222, 28557, 46532, 54974, 92866, 93093, 120855, 155416 (T.D. Noe, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).
La tabella seguente riporta tutti i numeri perfetti diedri di questa forma per n sino a 50.
|
n |
p |
2np |
|
1 |
7 |
14 |
|
2 |
13 |
52 |
|
3 |
23 |
184 |
|
4 |
41 |
656 |
|
7 |
271 |
34688 |
|
10 |
2069 |
2118656 |
|
13 |
16411 |
134438912 |
|
14 |
32797 |
537346048 |
|
26 |
134217781 |
9007202811510784 |
|
40 |
2199023255633 |
2417851639318318791262208 |
|
49 |
1125899906842723 |
633825300114170432793740312576 |
|
50 |
2251799813685349 |
2535301200456572518883997515776 |
Se n = 2kpq è perfetto diedro, con p e q primi, e p < q, allora 2k + 1 < p < 2k + 2 e per ogni primo p vi è al massimo un solo primo q.
La tabella seguente riporta tutti i casi per k fino a 26 (T.D. Noe, 2008).
|
k |
p |
q |
n |
|
1 |
5 |
13 |
130 |
|
3 |
23 |
47 |
8648 |
|
3 |
19 |
79 |
12008 |
|
7 |
463 |
569 |
33721216 |
|
7 |
359 |
883 |
40575616 |
|
7 |
307 |
1511 |
59376256 |
|
7 |
281 |
2767 |
99523456 |
|
7 |
271 |
4337 |
150441856 |
|
7 |
263 |
8419 |
283417216 |
|
7 |
257 |
32911 |
1082640256 |
|
10 |
2153 |
41597 |
91707741184 |
|
12 |
8353 |
422393 |
14451706793984 |
|
15 |
70233 |
981683 |
2258918614925312 |
|
15 |
65543 |
536928263 |
1153167823398797312 |
|
15 |
65537 |
2147516447 |
4611826823562493952 |
Per ogni valore di k vi è un numero finito di perfetti diedri della forma n = 2kpqr, con p, q e r primi.
La tabella seguente riporta tutti i casi per k fino a 13 (T.D. Noe, 2010).
|
k |
p |
q |
r |
n |
|
3 |
17 |
139 |
4729 |
89397016 |
|
3 |
17 |
137 |
9323 |
173706136 |
|
4 |
37 |
197 |
58321 |
6801628304 |
|
7 |
359 |
883 |
2535977 |
102898828936832 |
|
7 |
467 |
563 |
4206739 |
141573123151232 |
|
7 |
307 |
1511 |
3711017 |
220346295412352 |
|
7 |
281 |
2767 |
6220217 |
619057492909952 |
|
7 |
269 |
4919 |
21171379 |
3585817801980032 |
|
9 |
1061 |
28603 |
63680593 |
989473186649763328 |
Per ora non sono stati trovati numeri perfetti diedri di altre forme e in particolare dispari, o con più di 4 fattori primi distinti o multipli di un quadrato di un primo dispari.
Tabelle numeriche
I primi p della forma 2n + 1 + 2n + 1 e i corrispondenti numeri perfetti diedri 2np per n fino a 10000.Bibliografia
- De Koninck, Jean-Marie; Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -
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