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Lah (numeri di)

Matematica combinatoria 

Si chiamano “numeri di Lah” in onore di Ivo Lah (Štrukljeva Vas, allora impero austro-ungarico, oggi Slovenia, Ljubljana, allora Yugoslavia, oggi Slovenia 5/9/1896 – 23/3/1979), che li studiò nel 1955, i numeri della forma Formula per i numeri di Lah.

 

L(n, k) è il numero di possibili suddivisioni di n oggetti in k sottoinsiemi non vuoti, contando separatamente i possibili ordinamenti all’interno dei sottoinsiemi. Per esempio, L(4, 3) = 12, perché esistono 12 suddivisioni di 4 oggetti in 3 sottoinsiemi non vuoti, contando i vari ordinamenti:

  • { A }, { B }, { C, D };

  • { A }, { B }, { D, C };

  • { A }, { C }, { B, D };

  • { A }, { C }, { D, B };

  • { A }, { D }, { B, C };

  • { A }, { D }, { C, B };

  • { B }, { C }, { A, D };

  • { B }, { C }, { D, A };

  • { B }, { D }, { A, C };

  • { B }, { D }, { C, A };

  • { C }, { D }, { A, B };

  • { C }, { D }, { B, A }.

I numeri di Lah sono quindi analoghi ai numeri di Stirling di seconda specie, che danno numero di possibili suddivisioni di n oggetti in k sottoinsiemi non vuoti, ignorando però gli ordinamenti all’interno dei sottoinsiemi. Per sottolineare l’analogia sono talvolta indicati con la notazione Notazione per i numeri di Lah, analoga a quella usata per i numeri di Stirling e sono anche detti “numeri di Stirling di terza specie”.

 

I numeri di Lah possono essere calcolati con le seguenti formule:

  • Formula per il calcolo dei numeri di Lah;
  • Formula per il calcolo dei numeri di Lah;
  • Formula per il calcolo dei numeri di Lah;
  • Formula per il calcolo dei numeri di Lah;
  • L(n + 1, k) = (n + k)L(n, k) + L(n, k – 1);
  • Formula per il calcolo dei numeri di Lah;
  • L(n, k) = Bn, k(1!, 2!, 3!, ... (nk + 1)!), dove Bn, k(x1, x2, x3, ... xnk + 1) è un polinomio di Bell (II).

 

Alcuni valori particolari:

L(0, 0) = 1;

L(n, 1) = n!;

Formula per il calcolo dei numeri di Lah L(n, 2);

Formula per il calcolo dei numeri di Lah L(n, 3);

L(n, n – 1) = n(n – 1);

L(n, n) = 1;

L(n, k) = 0 per k = 0 e k > n.

 

Tra le proprietà interessanti vanno ricordate le seguenti:

Formula che coinvolge i numeri di Lah (Lah, 1955);

Formula che coinvolge i numeri di Lah.

 

La funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei numeri di Lah.

 

Le tabelle seguenti riportano i numeri di Lah L(n, k) per n e k da 1 a 20.

n \ k

1

2

3

1

1

 

 

2

2

1

 

3

6

6

1

4

24

36

12

5

120

240

120

6

720

1800

1200

7

5040

15120

12600

8

40320

141120

141120

9

362880

1451520

1693440

10

3628800

16329600

21772800

11

39916800

199584000

299376000

12

479001600

2634508800

4390848000

13

6227020800

37362124800

68497228800

14

87178291200

566658892800

1133317785600

15

1307674368000

9153720576000

19833061248000

16

20922789888000

156920924160000

366148823040000

17

355687428096000

2845499424768000

7113748561920000

18

6402373705728000

54420176498688000

145120470663168000

19

121645100408832000

1094805903679488000

3101950060425216000

20

2432902008176640000

23112569077678080000

69337707233034240000

 

n \ k

4

5

6

4

1

 

 

5

20

1

 

6

300

30

1

7

4200

630

42

8

58800

11760

1176

9

846720

211680

28224

10

12700800

3810240

635040

11

199584000

69854400

13970880

12

3293136000

1317254400

307359360

13

57081024000

25686460800

6849722880

14

1038874636800

519437318400

155831195520

15

19833061248000

10908183686400

3636061228800

16

396661224960000

237996734976000

87265469491200

17

8299373322240000

5394592659456000

2157837063782400

18

181400588328960000

126980411830272000

55024845126451200

19

4135933413900288000

3101950060425216000

1447576694865100800

20

98228418580131840000

78582734864105472000

39291367432052736000

 

n \ k

7

8

9

7

1

 

 

8

56

1

 

9

2016

72

1

10

60480

3240

90

11

1663200

118800

4950

12

43908480

3920400

217800

13

1141620480

122316480

8494200

14

29682132480

3710266560

309188880

15

779155977600

111307996800

10821610800

16

20777492736000

3339239904000

371026656000

17

565147802419200

100919250432000

12614906304000

18

15721384321843200

3088129063219200

428906814336000

19

448059453172531200

96012739965542400

14668613050291200

20

13097122477350912000

3040403432242176000

506733905373696000

 

n \ k

10

11

12

10

1

 

 

11

110

1

 

12

7260

132

1

13

377520

10296

156

14

17177160

624624

14196

15

721440720

32792760

993720

16

28857628800

1574052480

59623200

17

1121325004800

71357045760

3243502080

18

42890681433600

3119322286080

165418606080

19

1629845894476800

133351027729920

8081880468480

20

61934143990118400

5630376726374400

383889322252800

 

n \ k

13

14

15

13

1

 

 

14

182

1

 

15

19110

210

1

16

1528800

25200

240

17

103958400

2284800

32640

18

6362254080

174787200

3329280

19

362648482560

11955444480

284653440

20

19686631910400

757178150400

21633661440

 

n \ k

16

17

18

19

20

16

1

 

 

 

 

17

272

1

 

 

 

18

41616

306

1

 

 

19

4744224

52326

342

1

 

20

450701280

6627960

64980

380

1

 

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