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Pisot – Vijayaraghavan (numeri di)

Algebra 

Dato un numero reale x maggiore di 1, come si comporta la sequenza { nx }, dove Formula per la definizione della parte frazionaria di x è la parte frazionaria di x, al variare dell’intero n? Se x è razionale, la sequenza è periodica, altrimenti è densa e uniformemente distribuita nell’intervallo (0 .. 1). In altre parole, la sequenza approssima qualsiasi numero dell’intervallo con precisione grande a piacere, scegliendo n abbastanza grande, e il numero di valori in un intervallo comunque scelto tra 0 e 1 dipende solamente dalla dimensione dell’intervallo.

 

Che succede se rimpiazziamo la moltiplicazione con l’elevamento a potenza? Si può dimostrare che la sequenza { xn } è uniformemente distribuita per quasi tutti i reali (Koksma), ma sino a non molto tempo fa non si conosceva un singolo valore di x per il quale si potesse dimostrare che la sequenza è effettivamente uniformemente distribuita, mentre si conoscono infinite eccezioni: per i numeri di Pisot – Vijayaraghavan, infatti, Limite cui tende il valore assoluto della differenza tra x^n e l'intero più vicino uguale a zero, quindi la sequenza non è né densa né uniformemente distribuita, mentre per i numeri di Salem è densa, ma non uniformemente distribuita (Salem, 1963).

 

I numeri di Pisot – Vijayaraghavan condividono quindi con i numeri di Salem una proprietà insolita: per ogni numero di Pisot – Vijayaraghavan x e ogni numero reale positivo ε, esiste almeno un numero reale a tale che la differenza tra axn e l’intero più vicino sia minore di ε per ogni intero positivo n abbastanza grande.

I numeri di Pisot – Vijayaraghavan sono gli unici numeri algebrici per i quali questa proprietà valga con a = 1, ovvero i numeri le potenze dei quali si avvicinano sempre più a interi.

 

I numeri di Pisot – Vijayaraghavan sono gli interi algebrici reali maggiori di 1 che hanno tutte le radici coniugate (ossia le altre radici del polinomio di minimo grado che ha il numero in questione come radice) con valore assoluto inferiore a 1.

Questi numeri furono scoperti da Axel Thue (Tønsberg, Norvegia, 19/2/1863 – Oslo, 7/3/1922) nel 1912 e riscoperti da Godfrey Harold Hardy (Cranleigh, Inghilterra, 7/2/1877 – Cambridge, Inghilterra, 1/12/1947) nel 1919, ma divennero noti solo grazie al lavoro di Charles Pisot (Obernai, Francia, 2/3/1910 – Parigi, 7/3/1984) nel 1938. Il loro studio fu poi continuato da Tirukkannapuram Vijayaraghavan (30/11/1902 – 20/4/1955) e Raphaël Salem (Salonicco, allora Impero Ottomano, oggi Tessalonica, Grecia, 7/11/1898 – Parigi, 20/6/1963) che nel 1943 li chiamò col nome di dei due matematici che prima di lui avevano dato il maggior contributo al loro studio.

 

Il fatto che le potenze di un numero di Pisot – Vijayaraghavan siano vicine a interi è una conseguenza del fatto che tutte le radici coniugate hanno modulo inferiore a 1: la somma delle n-esime potenze di tutte le radici di un’equazione a coefficienti interi, infatti, è un intero; dato che tutte le radici coniugate hanno modulo minore di 1, al crescere di n le loro potenze tendono a zero, quindi la potenza dell’unica radice con modulo maggiore di 1 deve avvicinarsi a interi, diversi per i vari valori di n.

 

I numeri di Pisot – Vijayaraghavan sono algebrici; non si sa se esistano numeri trascendenti con le stesse proprietà.

 

Pisot dimostrò nel 1938 che, se f(x) = min({ x }, 1 – { x }) è la differenza tra x e l’intero più vicino:

  • se θ è un numero di Pisot – Vijayaraghavan, Serie che converge a un valore finito converge a un numero finito e viceversa;

  • se θ è un numero di Pisot – Vijayaraghavan, per qualsiasi numero λ non nullo della forma P(θ), dove P è un polinomio a coefficienti interi, Serie che converge a un valore finito converge a un numero finito; in particolare si può scegliere λ in modo che la somma non superi 9.

  • se θ è un numero reale algebrico ed esiste un numero λ non nullo tale che Serie che converge a un valore finito converga a un numero finito, θ è un numero di Pisot – Vijayaraghavan e λ è della forma P(θ), dove P è un polinomio a coefficienti interi;

  • se, fissato θ, esiste λ tale che la serie Serie che converge a un valore finito converga, allora θ è un numero di Pisot – Vijayaraghavan;

  • se { αθn } ha un numero finito di punti di accumulazione, per un valore reale di α, allora θ è un numero di Pisot – Vijayaraghavan;

  • se θ è un numero di Pisot – Vijayaraghavan, esiste un valore di λ tale che 1 < λ ≤ θ e Limite superiore per il valore al quale converge la serie.

 

Alcune proprietà dei numeri di Pisot – Vijayaraghavan:

  • ogni intero maggiore di 1 è un numero di Pisot – Vijayaraghavan;

  • se un numero di Pisot – Vijayaraghavan è razionale, allora è intero;

  • se in un polinomio a coefficienti interi il coefficiente del termine di grado massimo è 1 e quello del termine di grado 0 è k, la sua massima radice reale è maggiore di |k|, quindi tutti i numeri di Pisot – Vijayaraghavan minori di 2 sono unità algebriche;

  • ogni campo reale algebrico di grado n contiene almeno un numero di Pisot – Vijayaraghavan di grado n;

  • tutte le potenze di un numero di Pisot – Vijayaraghavan con esponente intero sono numeri di Pisot – Vijayaraghavan;

  • per ogni intero n e ogni numero reale x, i numeri di Pisot – Vijayaraghavan di grado n minori di x sono in numero finito;

  • tutti i numeri di Pisot – Vijayaraghavan sono numeri di Perron;

  • dato che sono algebrici e infiniti, i numeri di Pisot – Vijayaraghavan sono un’infinità numerabile;

  • se θ è un numero reale algebrico non nullo ed esiste un numero λ non nullo tale che Limite del valore assoluto della differenza tra λ * θ^n e l'intero più vicino uguale a zero, θ è un numero di Pisot – Vijayaraghavan e λ è della forma P(θ), dove P è un polinomio a coefficienti interi (Hardy).

 

Il primo numero di Pisot – Vijayaraghavan è la radice reale dell’equazione x3x – 1 = 0, vale a dire Valore della costante di plastica, detta anche “costante plastica”. Salem trovò tale numero nel 1944 e nello stesso anno Carl Ludwig Siegel dimostrò che è effettivamente il minimo.

 

Siegel dimostrò anche che il secondo numero di Pisot – Vijayaraghavan è la radice reale positiva dell’equazione x4x3 – 1 = 0, vale a dire circa 1.3802775691, e che infiniti altri numeri di Pisot – Vijayaraghavan sono dati dalle radici reali positive delle equazioni:

  • xn(x2x – 1) + x2 – 1 = 0, per n > 0;

  • xn(x2 – 1) – xn + 1 + 1 = 0, per n dispari e maggiore di 1;

  • xn(x – 1) – xn – 1 + 1 = 0, per n dispari e maggiore di 1.

 

La tabella seguente riporta i primi 10 numeri di Pisot – Vijayaraghavan.

Equazione

Numero di Pisot – Vijayaraghavan (approssimato)

x3x – 1 = 0

1.3247179572

x4x3 – 1 = 0

1.3802775691

x5x4x3 + x2 – 1 = 0

1.4432687913

x3x2 – 1 = 0

1.4655712319

x6x5x4 + x2 – 1 = 0

1.5015948035

x5x3x2x – 1 = 0

1.5341577449

x7x6x5 + x2 – 1 = 0

1.5452156497

x6 – 2x5 + x4x2 + x – 1 = 0

1.5617520677

x5x4x2 – 1 = 0

1.5701473122

x8x7x6 + x2 – 1 = 0

1.5736789684

 

Alle voci espansione di Lehmer, frazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni del primo numero di Pisot – Vijayaraghavan.

 

Altri esempi di numeri di Pisot – Vijayaraghavan sono:

  • la radice positiva dell’equazione x16 – 2x15 + 2x14 – 3x13 + 2x12 – 2x11 + x10 + x7 – x6 + 2x5 – 2x4 + 2x3 – 2x2 + x – 1 = 0, cioè circa 1.6216584885 (David W. Boyd, 1977);

  • la radice positiva dell’equazione x20 – 2x19 + x17x16 + x14 – x13 + x11x9 + x7x6 + x4x3 + x – 1 = 0 cioè circa 1.8374664495 (David W. Boyd, 1977).

 

I numeri di Pisot – Vijayaraghavan di secondo grado sono infiniti e hanno la forma (a + sqrt(b)) / 2, con a intero dispari e b intero della forma 4k + 1 e non quadrato, o a + sqrt(b), sempre con b intero non quadrato.

La tabella seguente riporta i minimi numeri di Pisot – Vijayaraghavan di secondo grado.

Equazione

Numero di Pisot – Vijayaraghavan

x2x – 1 = 0

(1 + sqrt(5)) / 2

x2 – 2x – 1 = 0

1 + sqrt(2)

x2 – 3x + 1 = 0

(3 + sqrt(5)) / 2

x2 – 2x – 2 = 0

1 + sqrt(3)

x2 – 3x – 1 = 0

(3 + sqrt(13)) / 2

x2 – 4x + 2 = 0

2 + sqrt(2)

x2 – 3x – 2 = 0

(3 + sqrt(17)) / 2

x2 – 4x + 1 = 0

2 + sqrt(3)

x2 – 3x – 3 = 0

(3 + sqrt(21)) / 2

x2 – 4x – 1 = 0

2 + sqrt(5)

 

Lagarias, Porta e Stolarsky trovarono 11 numeri di Pisot – Vijayaraghavan θ tali che anche θ / (θ – 1) sia un numero di Pisot – Vijayaraghavan; C.J. Smyth dimostrò nel 1998 che non ve ne sono altri e che esiste un unico numero di Salem θ tale che θ / (θ – 1) sia un numero di Pisot – Vijayaraghavan.

 

Salem dimostrò nel 1944 che i numeri di Pisot – Vijayaraghavan formano un insieme chiuso sulla retta reale, che contiene tutti i suoi punti di accumulazione, e che tutti i numeri di Pisot – Vijayaraghavan sono punti di accumulazione dei numeri di Salem.

David W. Boyd avanzò nel 1977 la congettura che l’unione dei numeri di Salem e dei numeri di Pisot sia un insieme chiuso.

 

Dufresnoy e Pisot dimostrarono che il minimo punto di accumulazione è φ e determinarono tutti i numeri di Pisot – Vijayaraghavan minori di φ.

 

Vijayaraghavan dimostrò che i punti di accumulazione hanno a loro volta infiniti punti di accumulazione, che questi a loro volta hanno infiniti punti di accumulazione e così via, in una gerarchia infinita.

 

I punti di accumulazione dei numeri di Pisot – Vijayaraghavan minori di 2 sono:

  • le soluzioni αn reali maggiori di 1 delle equazioni xn(2 – x) – x + 1 = 0, per n > 0;

  • le soluzioni βn reali maggiori di 1 delle equazioni xn + 1(2 – x) – 1 = 0, per n > 0;

  • la soluzione γ reale maggiore di 1dell’equazione x4x3 – 2x2 + 1 = 0, per n > 0, cioè circa 1.9051661678.

Questi numeri soddisfano le relazioni:

  • Relazione soddisfatta da α(n),

  • Relazione soddisfatta da β(n),

  • Relazione soddisfatta da γ.

Andrei Vieru avanzò la congettura che tutti i restanti punti di accumulazione dei numeri di Pisot – Vijayaraghavan siano soluzioni di equazioni analoghe e precisamente:

  • Equazione che ha per soluzione i punti di accumulazione dei numeri di Pisot – Vijayaraghavan, per n intero e maggiore di 0, m intero e maggiore di 1 e k intero maggiore di 0 e minore di m;

  • Equazione che ha per soluzione i punti di accumulazione dei numeri di Pisot – Vijayaraghavan, per n intero e maggiore di 0 e m intero e maggiore di 1.

 

Keshav Mukunda dimostrò nel 2004 che per ogni intero positivo n esiste un solo polinomio di Littlewood (ovvero con tutti i coefficienti uguali a ±1) e di grado n che sia irriducibile e abbia per radice un numero di Pisot – Vijayaraghavan: xn – 1xn – 2xn – 3 … – x – 1. I corrispondentinumeri diPisot – Vijayaraghavan sono minori di 2 e costituiscono un insieme che ha 2 come limite superiore.

 

Pisot (1936) e Vijayaraghavan (1940) dimostrarono che la sequenza Parte frazionaria di (3 / 2)^n ha infiniti punti di accumulazione. Questa sequenza riveste particolare importanza nella soluzione del problema di Waring (v. potenze).

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