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Mills (costante di)

Sequenze  Teoria dei numeri 

Nel 1947 W.H. Mills dimostrò che esiste una costante θ tale che Formula che produce numeri primi sia primo per qualsiasi valore intero di n maggiore di zero. La costante da allora è detta “costante di Mills”.

 

Nel 1954 E.M. Wright dimostrò che che esiste un’infinità non numerabile di costanti del genere.

 

Nel 2005 Chris K. Caldwell e Y. Cheng che per ogni valore di c almeno pari a 2.106, esiste un’infinità non numerabile di costanti θ tali che Formula che produce numeri primi sia primo per qualsiasi valore intero di n maggiore di zero; la costante di Mills viene pertanto solitamente definita come la minima costante del genere.

 

La chiave sta nel costruire una sequenza di primi p1, p2 ... pn tali che pn + 1 sia compreso tra p(n)^3 e (pn + 1)3. La costante è allora Formula per la definizione della costante di Mills.

Supponendo vera l’ipotesi di Riemann, si può dimostrare che esiste sempre almeno un primo tra due cubi consecutivi, quindi si può iniziare la sequenza da un qualsiasi numero primo, prendendo ogni volta il minimo primo maggiore del cubo del precedente. Teoricamente non è ancora certo che una sequenza del genere possa essere continuata all’infinito, partendo da qualsiasi primo, perché l’ipotesi di Riemann non è ancora stata dimostrata, ma tutti ritengano che sia possibile.

Senza utilizzare l’ipotesi di Riemann è ancora possibile dimostrare che esiste almeno un numero primo tra n3 e (n + 1)3, per n abbastanza grande (Guido Hoheisel e Albert Ingham), ma non è ancora noto quale sia il minimo valore “abbastanza grande”: il limite inferiore minimo oggi è 106000000000000000000, chiaramente ben oltre le attuali possibilità di verifica, quindi una valutazione certa della costante dovrà attendere significativi progressi teorici.

 

Comunemente si inizia con 2 e la sequenza prosegue con i primi di Mills: 11, 1361, 2521008887, 16022236204009818131831320183....

Il valore di θ ottenuto in questo modo è circa 1.3063778839 e, sempre supponendo vera l’ipotesi di Riemann, è la minima costante del genere possibile.

Supponendo che due enormi primi probabili siano realmente primi, la costante è stata calcolata con oltre 180000 cifre di precisione.

 

Qui trovate le prime 6850 cifre della costante di Mills (Chris K. Caldwell e Y. Cheng, 2005).

 

Alle voci espansione di Lehmer, frazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni della costante.

 

Iniziando con primi differenti, è possibile produrre infinite formule analoghe, con costanti diverse. In tutte queste formule, però, non si conosce alcun modo per determinare la costante che non richieda la conoscenza dei primi che poi la formula genererà, quindi le formule non hanno interesse pratico.

Iniziando con 3 si ottiene una costante analoga, uguale a circa 1.4537508625.

 

Se si potesse dimostrare che esiste sempre un primo tra due quadrati consecutivi, come molti ritengono, si potrebbe ridurre l’esponente nella definizione della costante a 2; la sequenza di primi da utilizzare per il calcolo sarebbe in questo caso: 2, 5, 29, 853, 727613, 529420677791 ... (v. primi di Mills), dove ciascun primo dopo 2 è il minimo superiore al quadrato del precedente.

La costante così ottenuta vale circa 1.5246999605.

 

Qui trovate le prime 105 cifre della costante (Martin Raab, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Queste formule si basano su un teorema di G. Hoheisel (1930), poi raffinato da A.E. Ingham (1937) che afferma che per ogni primo p abbastanza grande, ne esiste almeno un altro minore di Limite superiore per il minimo primo maggiore di p(n), per una costante (ignota) k. M.N. Huxley ridusse nel 1967  l’esponente a 7 / 12, C.J. Mozzocchi nel 1986 lo portò a 1051 / 1920, poi altri lo ridussero a 0.525, ancora probabilmente molto lontano dal valore minore possibile, visto che secondo Granville la differenza tra un primo p e il successivo dovrebbe tendere, come limite superiore, a e–2γlog2p.

Vedi anche

Primi di Mills.

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