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Liouville (numeri di)

Algebra  Rappresentazione dei numeri 

Sono i numeri reali per i quali vale il teorema di Liouville: numeri irrazionali, approssimabili molto bene con una successione di frazioni e perciò trascendenti.

 

Un numero reale x si dice approssimabile con razionali all’ordine d, se esistono infinite coppie di interi a e b primi tra loro per le quali valga Disuguaglianza per la definizione dei numeri di Liouville, per una costante C. In particolare ogni numero razionale è approssimabile al primo ordine.

 

Joseph Liouville (Saint-Omer, Francia, 24/3/1809 – Parigi, 8/9/1882) dimostrò nel 1844 che se x è algebrico di grado d, ossia se è soluzione di un’equazione di grado minimo d con coefficienti interi (non tutti divisibili per un intero maggiore di 1), allora per ogni coppia di interi (primi tra loro) a e b, con b abbastanza grande, valgono le relazioni Disuguaglianza soddisfatta dai numeri algebrici e Disuguaglianza soddisfatta dai numeri algebrici. In particolare Formula per la definizione di C, dove m è il massimo dei coefficienti che compaiono nell’equazione. Il valore massimo che C può assumere è Massimo valore di C, nel caso, per esempio, di φ (v. numeri di Lagrange).

Ne segue che un numero irrazionale x è trascendente se per ogni intero n > 2 esistono due interi a e b tali che Condizione sufficiente perché x sia trascendente. Vale a dire che se x è irrazionale e si riesce a trovare una successione di frazioni che lo approssima “troppo bene”, allora x è trascendente.

Liouville costruì quindi alcuni numeri con questa caratteristica, che furono i primi a essere dimostrati trascendenti; un numero del genere si dice quindi “numero di Liouville”.

La categoria include tutti i numeri esprimibili come Serie per numeri trascendenti, se a e tutti i kn sono razionali, a ≥ 2, tutti i kn sono minori di a e infiniti kn sono maggiori di zero.

Rientra probabilmente nella categoria il numero, frequentemente citato come esempio, 3.14(0)31(0)175(0)959(0)5992… nel quale kn è la cifra di π di posto n!; ovvero, il numero che ha per parte frazionaria le cifre di π nei posti di indice n! e zeri per le restanti. L’appartenenza del numero alla categoria è “probabile”, perché che io sappia non è stato dimostrato che le cifre di posizione n! di π non siano tutte nulle per n sufficientemente grande, ma nessun matematico ritiene possibile un fatto del genere.

 

La dimostrazione può essere generalizzata a serie del tipo Serie per numeri trascendenti, dove an + 1 è multiplo di an per n abbastanza grande e non esiste una costante K tale che a(n + 1) < K * a(n)^K, vale a dire che ogni denominatore è maggiore di una qualsiasi potenza (con esponente fissato) del precedente.

 

In seguito A. Thue migliorò il teorema di Liouville, dimostrando che se x è algebrico di grado d, Disuguaglianza soddisfatta dai numeri algebrici, per b abbastanza grande, Siegel lo perfezionò, arrivando alla disuguaglianza Disuguaglianza soddisfatta dai numeri algebrici per qualsiasi coppia di interi a e b primi tra loro (dove C dipende da x), e infine Roth dimostrò che Disuguaglianza con al massimo un numero finito di soluzioni per i numeri algebrici ha al massimo un numero finito di soluzioni intere per ogni ε > 0.

Per contro, per ogni numero irrazionale x esistono infinite coppie di interi a e b tali che Disuguaglianza con infinite soluzioni per i numeri algebrici; la disuguaglianza può essere leggermente migliorata: Disuguaglianza con infinite soluzioni per i numeri algebrici e Disuguaglianza con infinite soluzioni per i numeri algebrici. L’ultima disuguaglianza però è la migliore possibile, nel senso che se si aumentano anche di poco l’esponente 2 o la costante Radice quadrata di 5, si trovano infiniti controesempi.

 

Non tutti i numeri trascendenti sono numeri di Liouville: in particolare nel 1953 Mahler dimostrò che π non lo è e che Disuguaglianza soddisfatta dalle approssimazioni razionali di π. Si sa anche che e (J. Popken 1929) e logr, con r razionale diverso da 0 e 1, non lo sono, ma non è noto se eπ lo sia.

 

Pochi numeri non appositamente costruiti sono stati dimostrati essere numeri di Liouville; in particolare lo è la somma dei reciproci dei fattoriali esponenziali.

 

I numeri di Liouville non sono numerabili e costituiscono un insieme denso nei reali, vale a dire che per ogni numero reale, si può trovare un numero di Liouville arbitrariamente vicino.

L’insieme dei numeri di Liouville ha però misura di Lebesgue nulla, quindi, in un certo senso, “quasi tutti” i numeri reali non sono numeri di Liouville. E’ quindi sorprendente la dimostrazione di Erdös (1962) che ogni numero reale si può esprimere sia come somma che come prodotto di due soli numeri di Liouville.

 

La “misura di irrazionalità” di un numero può essere definita considerando quanto bene lo si possa approssimare con frazioni. Più precisamente, per ogni reale x è il limite inferiore dei numeri r tali che Formula per la definizione della misura di irrazionalità abbia un numero finito di soluzioni con a e b interi ed è detto anche “costante di Liouville – Roth” (impropriamente, visto che è una funzione di x).

Tale misura, indicata con r(x), è 1 per i razionali, 2 per gli irrazionali algebrici, almeno 2 per i numeri trascendenti ed è nota solo in alcuni casi:

  • 2 per e;

  • tra 2 e 7.60630853 per π (V.K. Salikhov, 2004);

  • tra 2 e 3.57455391 per log2 (R. MArcovecchio, 2009);

  • tra 2 e 5.125 per log3 (V.K. Salikhov, 2007);

  • tra 2 e 5.441243 per π2 (M. Hata, 1995);

  • tra 2 e 5.513891 per ζ(3) (G. Rhin e C. Viola, 2001), sarebbe naturalmente 2 se ζ(3) fosse algebrico;

  • tra 2 e 13.42 per ζ(3)2 (M. Hata, 2000);

  • tra 2 e 4 per la costante di Thue – Morse (Boris Adamczewski e Tanguy Rivoal);

  • infinito per i numeri di Liouville.

 

E’ stato dimostrato che i numeri per i quali la misura di irrazionalità è maggiore di 2 costituiscono un insieme con misura di Lebesgue nulla, quindi sono, in un certo senso “pochissimi”.

M.A. Alekseyev dimostrò nel 2011 che se la serie Formula per la definizione della serie di Flint Hills (detta “serie di Flint Hills”) converge, il limite superiore per la misura di irrazionalità di π può essere ridotto a 2.5.

 

La misura di irrazionalità si può ricavare dai denominatori qn dello sviluppo di x in frazione continua: Formula per misura di irrazionalità; però per quasi tutte le costanti di interesse matematico (con la notevole eccezione di e) lo sviluppo è irregolare e la formula non è utilizzabile.

 

Analogamente ai numeri di Liouville, si possono costruire numeri per i quali il valore di r(x) è un qualsiasi numero tra 2 e infinito.

 

Sono inoltre stati dimostrati altri interessanti risultati sulle approssimazioni razionali (in queste formule C rappresenta una costante opportuna, diversa nei vari casi):

  • Disuguaglianza soddisfatta dalle approssimazioni razionali di log(2) (K. Alladi, 1979);

  • Disuguaglianza soddisfatta dalle approssimazioni razionali della radice cubica di 2 (K. Alladi, 1979);

  • Disuguaglianza soddisfatta dalle approssimazioni razionali di ζ(2) (A. Baker, 1964);

  • Disuguaglianza soddisfatta dalle approssimazioni razionali di ζ(3) (R. Apéry, 1979); (R. Apéry, 1979);

  • Disuguaglianza soddisfatta dalle approssimazioni razionali di π e Disuguaglianza soddisfatta dalle approssimazioni razionali di π per b > 96 (M. Mignotte, 1974);

  • Disuguaglianza soddisfatta dalle approssimazioni razionali di e.

 

Inoltre A. Baker dimostrò nel 1964 alcune disuguaglianze per r(x), tra le quali Disuguaglianza soddisfatta dalle approssimazioni razionali di log(1 + 1 / n), per n intero maggiore di zero, con Formula per c(1)Formula per c(n) per n > 1, f(1) = 60, f(2) = 7 e Formula per f(n) per n > 2; f(n) è un limite superiore alla misura di irrazionalità di log(1 + 1 / n) ed è compresa tra 2 e 3 per n > 14.

 

Una conseguenza dei lavori di Hata che per x = 7.02 e n intero, il limite inferiore di nx|sinn| è maggiore di zero e il limite superiore di tan(n) / n^x è 0. Non si sa se si possa ridurre il valore di x, mantenendo le stesse proprietà.

Bibliografia

  • Chaitin, Gregory;  Metamaths, Londra, Atlantic Books, 2007.
  • Niven, Ivan;  Numbers: Rational and Irrational, The Mathematical Association of America, 1961.
  • Olds, C.D.;  Continued Fractions, New York, Random House, 1963 -

    Un classico sulle frazioni continue.

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