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Lemoine (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Nel 1894 Émile Michel Hyacinthe Lemoine (Quimper, Francia, 22/11/1840 – Parigi, 21/2/1912) avanzò la congettura che ogni numero naturale dispari maggiore di 5 si possa rappresentare come p + 2q, con p e q primi (non necessariamente distinti).

Nel 1963 Hyman Levy (1889 – 1975), all’oscuro del precedente, ripropose la stessa congettura, che attirò maggiore interesse della volta precedente ed è per questo nota anche come “congettura di Levy”.

 

E’ un’estensione ai numeri dispari della congettura di Goldbach, ma per ovvia che possa sembrare, nessuno ci aveva pensato per un secolo e mezzo.

 

Di fatto, è una forma più forte della congettura debole di Goldbach, che afferma che si possa rappresentare ogni intero dispari maggiore di 5 come somma di tre numeri primi, perché aggiunge la condizione che due di essi siano uguali.

 

La congettura ha attratto meno interesse di quella di Goldbach; è stata verificata sino a 109 (D. Corbit, 1999).

 

Il numero di rappresentazioni sembra aumentare, lentamente e irregolarmente, col numero da rappresentare: a parte 7 = 3 + 2 • 2, non si conosce alcun numero naturale per il quale la rappresentazione sia unica.

 

Nel 2015 Zhi-Wei Sun propose una congettura molto più generale, che comprende quella di Lemoine come caso particolare (v. congetture di Zhi-Wei Sun sulla rappresentazione dei numeri naturali come somme).

 

La congettura C di Hardy e Littlewood è un raffinamento della congettura di Lemoine, che prevede una stima asintotica del numero di rappresentazioni, pur non escludendo l’esistenza di eccezioni, ossia interi non rappresentabili nella forma descritta, anche in numero infinito.

 

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