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Radicali continui

Rappresentazione dei numeri 

Indice

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  2. 2. Rappresentazione dei numeri tramite radicali continui

Sebbene il termine non sia di uso universale, ritengo corretto chiamare “radicali continui”, per assonanza con le frazioni continue, le espressioni che contengono una sequenza di radicali l’uno dentro l’altro, come per esempio, Esempio di radicale continuo, dove il valore dell’espressione va inteso come il limite, se esiste, della sequenza di valori ottenuti arrestando il calcolo ai primi 1, 2, 3 … radicali.

 

Mentre le frazioni continue hanno importanza pratica, sia per calcolare valori (approssimati) di funzioni, sia per risolvere alcune forme di equazioni diofantee, in particolare quelle di Fermat – Pell, i radicali continui non hanno applicazioni pratiche e quindi sono stati studiati molto meno. Non è neppure stata sviluppata una notazione compatta universalmente accettata, come nel caso delle frazioni continue semplici, e per rappresentarli si deve ricorrere a una scomoda stratificazione di segni di radice.

 

Il primo problema che pongono è determinare se l’espressione converga o meno a un valore finito; per risolvere questo esistono tre teoremi fondamentali, che permettono in molti casi di stabilire se un radicale continuo tenda effettivamente a un valore, anche se non forniscono indicazioni su tale valore.

 

Uno dei primi teoremi generali su espressioni di questo tipo fu dimostrato da Tirukkannapuram Vijayaraghavan (30/11/1902 – 20/4/1955): l’espressione Radicale continuo per l’applicazione del teorema di Vijayaraghavan, con tutti i vari an maggiori di zero, converge se e solo se esiste finito Limite che deve esistere per poter applicare il teorema di Vijayaraghavan.

 

Nel 1935 A. Herschfeld dimostrò un teorema più generale: a0 + (a1 + (a2 + (a3 + …)p)p)p ha un limite finito se e solo se la successione Successione per il teorema di Herschfeld è limitata e quindi Radicale continuo per l’applicazione del teorema di Herschfeld converge se e solo se esiste finito Limite che deve esistere per poter applicare il teorema di Herschfeld.

 

Nel 1988 Dixon Jones dimostrò che se i vari an sono maggiori di zero e p > 1, a0 + (a1 + (a2 + (a3 + …)p)p)p converge a un limite finito se Condizione per il teorema di Dixon Jones.

 

Il secondo importante problema è stabilire a che limite converga un radicale continuo dato; in genere ci si limita a casi nei quali i numeri che compaiono nelle radici provengono da sequenze abbastanza semplici.

 

Un caso semplice è Radicale continuo convergente, che converge alla soluzione dell’equazione xk = bx + a e quindi Radicale continuo convergente converge alla soluzione dell’equazione xk = x + a, per a diverso da 0. Alcuni casi particolari:

 

Ramanujan dimostrò che Radicale continuo convergente e come caso particolare nel 1911 propose sul Journal of the Indian Mathematical Society il problema di trovare il valore di Radicale continuo convergente, che si ricava dalla formula generale per x = 2, n = 1, a = 0, quindi è 3. Altri casi di particolare interesse ricavabili dalla stessa formula sono:

  • Radicale continuo convergente;

  • Radicale continuo convergente.

Una generalizzazione del problema di Ramanujan è Radicale continuo convergente, dove Formula per a(n); per questa versione Jonathan Sondow e Petros Hadjicostas dimostrarono nel 2006 che i due radicali danno lo stesso valore, ma non si conosce alcuna espressione semplice del risultato per n diverso da 2.

 

Un’altra stupefacente formula di Ramanujan è Radicale continuo convergente, per x > a1.

 

Vi sono poi numerosi radicali continui che possono essere affrontati con tecniche standard, per determinare a cosa convergano; nella maggior parte dei casi sono costituiti da radici quadrate, ma non mancano esempi con altre radici:

  • Radicale continuo convergente a 1 / 2;

  • Radicale continuo convergente, per n dispari, da cui, come caso particolare Radicale continuo convergente a –2;

  • Radicale continuo convergente e in particolare Radicale continuo convergente;

  • Radicale continuo convergente e in particolare Radicale continuo convergente;

  • Radicale continuo convergente, per a e b non negativi;

  • Radicale continuo convergente, per a > b2 e b non negativo;

  • Radicale continuo convergente, per a e b non negativi;

  • Radicale continuo convergente e quindi Radicale continuo convergente;

  • Radicale continuo convergente (Jonathan M. Borwein e G. de Barra, 1991);

  • Radicale continuo convergente (Jonathan M. Borwein e G. de Barra, 1991) e in particolare Radicale continuo convergente a 2;

  • Radicale continuo convergente, e in particolare Radicale continuo convergente alla radice quadrata di 2;

  • Radicale continuo convergente.

 

 

Un legame con le frazioni continue compare nella formula Formula che lega radicali continui e frazioni continue.

 

In molti casi non è troppo difficile dimostrare la convergenza a un limite finito di radicali del genere, ma non si conoscono espressioni del risultato in termini di costanti note e solo il calcolo numerico ci fornisce un’approssimazione del valore. Alcuni esempi curiosi:

  • Radicale continuo convergente;

  • Radicale continuo convergente;

  • Radicale continuo convergente;

  • Radicale continuo convergente.

Alla voce frazioni continue trovate ottime approssimazione delle prime tre costanti.

Qui trovate le prime 101 cifre decimali della prima costante (Mark Hudson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 100 cifre decimali della terza costante (Mark Hudson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 105 cifre decimali della parte reale dell’ultima costante (Clark Kimberling, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 105 cifre decimali della parte immaginaria dell’ultima costante (Clark Kimberling, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Alcune costanti sono state definite tramite radicali continui, mettendo nelle radici i valori di una qualche sequenza; tra i casi più interessanti abbiamo:

  • la costante dei radicali di Fibonacci Radicale continuo per la definizione della costante dei radicali di Fibonacci;

  • la costante dei radicali Radicale continuo per la definizione della costante della ricorrenza quadratica di Somos;

  • la costante dei radicali dei primi Radicale continuo per la definizione della costante dei radicali dei primi;

  • la costante dei radicali dei semiprimi Radicale continuo per la definizione della costante dei radicali dei semiprimi;

  • Radicale continuo per la definizione di x, da cui si ricava la radice argentea come Formula per la radice argentea.

Qui trovate le prime 105 cifre decimali della costante dei radicali di Fibonacci (Jonathan Vos Post, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 105 cifre decimali della costante dei radicali (Robert G. Wilson V, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 105 cifre decimali della costante dei radicali dei primi (Jonathan Vos Post, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 105 cifre decimali della costante dei radicali dei semiprimi (Jonathan Vos Post, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Un caso anomalo, che coinvolge radicali differenti, è Radicale continuo convergente a x^(e – 2).

 

Alle voci espansione di Lehmer e frazioni continue trovate ottime approssimazioni di vari radicali continui.

Bibliografia

  • Clawson, Calvin C.;  Mathematical Mysteries, Basic Books, 1996.

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