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Perfetti unitari (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “perfetti unitari” i numeri naturali uguali alla somma dei divisori unitari escluso il numero stesso, ovvero considerando σ*(n) al posto di σ(n) nella definizione di “perfezione”. Sono quindi i numeri n per i quali σ*(n) = 2n.

Per esempio, i divisori unitari di 90, escluso 90 stesso, sono: 1, 2, 5, 9, 10, 18, 45, e la loro somma è 90.

 

Si conoscono solo 5 interi perfetti unitari:

  • 6 = 2 • 3,

  • 60 = 22 • 3 • 5,

  • 90 = 2 • 32 • 5,

  • 87360 = 26 • 3 • 5 • 7 • 13,

  • 146361946186458562560000 = 218 • 3 • 54 • 7 • 11 • 13 • 19 • 37 • 79 • 109 • 157 • 313 (Charles R. Wall, 1975).

Si congettura che siano in numero finito (v. congettura dei numeri perfetti unitari).

 

I fattori primi dei numeri perfetti unitari sono primi di Higgs per l’esponente 3 (Paul Muljadi, 2005).

 

A differenza di quanto accade per i numeri perfetti, non è difficile dimostrare che non possono essere dispari. Infatti, la funzione σ*(n) è moltiplicativa e se p è primo σ*(pk) = pk + 1 è pari, pertanto se n ha due o più fattori primi dispari, σ*(n) è multiplo di 4 e non può essere il doppio di un numero dispari, mentre se n è una potenza di un primo dispari σ*(n) = n + 1 < 2n.

 

Charles R. Wall dimostrò nel 1987 che non esistono altri numeri perfetti unitari minori di 146361946186458562560000 e che se esistono altri numeri perfetti unitari, devono avere la forma 2am, con a maggiore di 10 e m dispari con almeno 9 fattori primi distinti.

S.W. Graham dimostrò nel 1989 che non esistono altri numeri perfetti unitari della forma 2am con m dispari e non multiplo di quadrati e Jennifer DeBoer dimostrò che non esistono altri numeri perfetti unitari della forma 2a32m, con m non multiplo di 2 o 3 e non multiplo di quadrati.

H.A.M. Frey dimostrò nel 1978 che se esistesse un numero perfetto unitario non multiplo di 3, avrebbe la forma 2am con a > 144, avrebbe almeno 144 fattori dispari distinti e sarebbe maggiore di 10440.

 

σ*(n) è sempre pari, a meno che n sia una potenza di 2, quindi:

  • non esistono numeri perfetti unitari ridotti, tali cioè che σ*(n) – 1 = 2n;

  • gli unici numeri perfetti unitari aumentati, tali cioè che σ*(n) + 1 = 2n sono 1 e 2.

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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