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Perfetti infinito-unitari (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano perfetti infinito-unitari i numeri naturali uguali alla somma dei divisori infinito-unitari escluso il numero stesso, ovvero considerando σ*(n) al posto di σ(n) nella definizione di “perfezione”. Sono quindi i numeri n per i quali σ*(n) = 2n.

Per esempio, i divisori infinito-unitari di 60, escluso 60 stesso, sono: 1, 3, 4, 5, 12, 15, 20, e la loro somma è 60.

 

Si conoscono poco meno di 200 numeri perfetti infinito-unitari; quelli minori di 1025 sono:

  • 6 = 2 • 3,

  • 60 = 22 • 3 • 5 (Subbarao, 1965),

  • 90 = 2 • 32 • 5 (Subbarao, 1965),

  • 36720 = 24 • 33 • 5 • 17 (Cohen, 1990),

  • 12646368 = 25 • 34 • 7 • 17 • 41 (Cohen, 1990),

  • 22276800 = 26 • 32 • 52 • 7 • 13 • 17 (Cohen, 1990),

  • 126463680 = 26 • 34 • 5 • 7 • 17 • 41 (Cohen, 1990),

  • 4201148160 = 28 • 33 • 5 • 11 • 43 • 257 (Cohen, 1990),

  • 28770487200 = 25 • 34 • 52 • 72 • 13 • 17 • 41 (David Moews e P.C. Moews, 1998),

  • 287704872000 = 26 • 34 • 53 • 72 • 13 • 17 • 41 (Cohen, 1990),

  • 1446875426304 = 29 • 34 • 7 • 11 • 41 • 43 • 257 (David Moews e P.C. Moews, 1998),

  • 2548696550400 = 210 • 32 • 52 • 7 • 11 • 13 • 43 • 257 (Cohen, 1990),

  • 14468754263040 = 210 • 34 • 5 • 7 • 11 • 41 • 43 • 257 (David Moews e P.C. Moews, 1998),

  • 590325173932032 = 212 • 35 • 7 • 11 • 17 • 41 • 43 • 257 (Cohen, 1990),

  • 3291641594841600 = 29 • 34 • 52 • 72 • 11 • 13 • 41 • 43 • 257 (Pedersen, 1998),

  • 8854877608980480 = 212 • 36 • 5 • 7 • 11 • 17 • 41 • 43 • 257 (Cohen, 1990),

  • 32916415948416000 = 210 • 34 • 53 • 72 • 11 • 13 • 41 • 43 • 257 (Cohen, 1990),

  • 20144846560430592000 = 212 • 36 • 53 • 72 • 11 • 13 • 17 • 41 • 43 • 257 (Cohen, 1990).

Sicuramente non ne esistono altri minori di 5 • 1012.

 

Il massimo noto è 17481193399082805817512810345429940923347630802407033583082120506414489747605168416226795344868194274067253261771249366842828636512696752941309389144722274607780032958759813518230667499989034655255134780899303876971963902352254424408953343641359125143817922925158028191254630270247807977372617977911025210172846319971415872434527510613193034565159857087596008252063708866947299170123885573411326915317551812205001830958097669669382255370995074340515219921795857809670212332550045217564075571229208609989842994452742674393919525765194548280506340885703057871455051113772292642578924147005778631551517367456467437616791842044860490506458107613570111615506752532500774451194238903737520977093413750155768986438338078597045003009991691876444490443617586689112997461680351055576174712684343496679004837776790476552800437628771418045839493827789376620911618921810305640553359445344476816434366138869794469156108456508031152805798568579650393924829349951716636753920000000000000000000000000000000000000000 (Derek Ball, 1998)

Qui trovate i numeri perfetti infinito-unitari noti.

 

L’unico perfetto infinito-unitario che sia anche perfetto è 6, che è anche l’unico non multiplo di un quadrato (Vladimir Shevelev, 2011).

 

Gli unici non multipli di 8 sono: 6, 60 e 90 (Graeme L. Cohen, 1990).

 

σ*(n) è sempre pari, a meno che n sia una potenza di 2, quindi:

  • l’unico numero perfetto infinito-unitario ridotto, tale cioè che σ*(n) – 1 = 2n, è 1;

  • gli unici numeri perfetti infinito-unitari aumentati, tali cioè che σ*(n) + 1 = 2n, sono i numeri della forma 22k – 1.

 

Bibliografia

  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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