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Interi algebrici

Algebra 

Gli interi algebrici sono un caso particolare di numeri algebrici, per i quali il coefficiente del termine di grado massimo dell’equazione che li ha come soluzione è uno, cioè sono soluzioni di equazioni della forma xn + an – 1xn – 1 + ... a1x + a0 = 0, dove i vari an sono tutti interi, anche negativi.

Viceversa se un polinomio con coefficienti interi è irriducibile (ossia tale che non può essere espresso come prodotto di polinomi con coefficienti interi) ha il coefficiente di grado massimo maggiore di uno e il massimo comun divisore dei coefficienti è uno, nessuna delle sue radici è un intero algebrico.

 

Si dicono “coniugati” di un intero algebrico le altre soluzioni dell’equazione di grado minimo; tanto gli interi algebrici che i loro coniugati possono essere reali o complessi.

 

Si dice “grado” di un intero algebrico il minimo possibile grado di un’equazione che lo abbia per soluzione.

Per esempio, sono interi algebrici di secondo grado tutti i numeri della forma Forma generale degli interi algebrici di secondo grado, perché soluzione dell’equazione x2nx + m = 0 e in particolare:

  • φ;

  • gli interi di Gauss, perché a + ib è soluzione dell’equazione x2 – 2ax + a2 + b2 = 0;

  • gli interi di Eisenstein, perché a + ωb è soluzione dell’equazione x2 – (2ab)x + a2ab + b2 = 0.

 

Somme, differenze, prodotti e radici n-esime di interi algebrici sono ancora interi algebrici, ma non, in generale, i loro quozienti; gli interi algebrici costituiscono quindi un anello.

 

Come per i numeri algebrici, non è detto che un intero algebrico di grado superiore al quarto possa essere espresso come combinazioni di somme, prodotti e radici n-esime di numeri razionali, cioè che sia un intero radicale.

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