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Lochs (costante di)

Analisi  Rappresentazione dei numeri 

Il teorema di Lochs, dimostrato da Gustav Lochs nel 1964, afferma che se m è il numero minimo di termini della rappresentazione come frazione continua semplice di un numero reale che servono per approssimarlo con n cifre di precisione, al crescere di n il rapporto m / n tende a una costante, per tutti i numeri reali, tranne che per un insieme di misura di Lebesgue nulla.

 

La costante è uguale a Formula per il limite del rapporto in base b, dove b è la base della rappresentazione; in particolare nel caso della base 10 la costante si chiama “costante di Lochs” e vale Formula per la costante di Lochs.

Qui trovate le prime 1000 cifre decimali della costante di Lochs.

 

La costante di Lochs è anche uguale a Formula per la costante di Lochs, dove L è la costante di Lévy.

 

Dato che la costante è minore di 1, la rappresentazione come frazione continua e appena più efficiente di quella decimale, come numero di termini necessari per raggiungere una precisione data. Va però considerato che i singoli termini della rappresentazione decimale sono cifre da 0 a 9, mentre quelli della rappresentazione come frazione continua sono interi, che possono essere arbitrariamente grandi.

 

La costante diviene maggiore di 1 per basi maggiori di 10, quindi in tali basi la rappresentazione decimale è più efficiente, in termini di precisione per numero di cifre.

 

La tabella seguente mostra il valore della costante nelle basi da 2 a 20.

Base

Valore della costante

2

0.2920804083

3

0.4629364944

4

0.5841608167

5

0.6781897061

6

0.7550169027

7

0.8199733720

8

0.8762412250

9

0.9258729888

10

0.9702701144

11

1.0104321998

12

1.0470973111

13

1.0808259439

14

1.1120537803

15

1.1411262005

16

1.1683216333

17

1.1938678157

18

1.2179533971

19

1.2407364027

20

1.2623505227

 

Alle voci >espansione di Lehmer, frazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni della costante.

Vedi anche

Frazioni continue.

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