Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Palindromi (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Somme palindrome
  3. 3. Potenze palindrome
  4. 4. Primi palindromi
  5. 5. Numeri figurati palindromi

Un primo palindromo è un numero palindromo che è anche primo; non si sa se siano infiniti, però W.D. Banks, D.N. Hart e M. Sakata dimostrarono nel 2004 che in qualunque base quasi tutti i numeri palindromi sono composti, ossia che tra essi la densità dei numeri primi tende a zero.

 

In base 10 i primi palindromi inferiori a 1000 sono: 2, 3, 5, 7, 11 (l’unico con un numero pari di cifre), 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919 e 929.

 

Vi è una sorta di gara alla ricerca del massimo primo palindromo; i record più recenti sono:

  • 10130022 + 3761673 • 1065008 + 1 (Harvey Dubner, 2004, 130023 cifre);

  • 10130036 + 116010611 • 1065014 + 1 (Harvey Dubner, 2004, 130037 cifre);

  • 10200000 + 47960506974 • 1099995 + 1 (Benardo Boncompagni, 2010, 200001 cifre);

  • 10314727 – 8 • 10157363 – 1 = (9)1573631(9)157363 (Darren Bedwell, 2013, 314727 cifre);

  • Primo palindromo (David Broadhurst, 2014, 320237 cifre);

  • 10362600 + 666 • 10181299 + 1 (Serge Batalov, 2014, 362601 cifre);

  • 10390636 + 999 • 10195371 + 1 (Serge Batalov, 2014, 390637 cifre);

  • 10474500 + 999 • 10237249 + 1 (Serge Batalov, 2014, 474501 cifre).

 

Tra i primi palindromi vi sono alcune categorie speciali:

  • i primi bestialmente palindromi, che contengono al centro il numero della Bestia, come 16661 (il minimo della categoria), 700666007 o il primo di Belfagor; il massimo noto è 10362600 + 666 • 10181299 + 1 (Serge Batalov, 2014, 362601 cifre);

  • i primi doppiamente palindromi, che hanno un numero di cifre che è un primo palindromo, come 11 (il minimo della categoria)

  • i primi triplamente palindromi, che hanno un numero di cifre che è un primo doppiamente palindromo, come 10000500001 (il minimo della categoria) e 1011310 + 4661664 • 105652 + 1, che ha 11311 cifre.

 

I primi palindromi noti con indice palindromo sono: p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, p5 = 11, p8114118 = 143787341 e p535252535 = 11853735811 (Carlos B. Rivera F., l’ultimo termine si deve a Giovanni Resta, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Norman T. Gridgeman (1912 – 1995) avanzò la congettura dell’esistenza di infinite coppie di primi palindromi che differiscono solo di un’unità nella cifra centrale, dette “coppie di Gridgeman”, come 30103 e 30203 (da notare che sono primi anche 30403, 30703 e 30803).

 

Cancellando cifre da un primo palindromo lo si può sempre ridurre a uno degli 86 primi palindromi minimali (v. numeri minimali (II)):

2, 3, 5, 7, 11, 919, 94049, 94649, 94849, 94949, 96469, 98689, 9809089, 9888889, 9889889, 9908099, 9980899, 9989899, 900808009, 906686609, 906989609, 908000809, 908444809, 908808809, 909848909, 960898069, 968999869, 988000889, 989040989, 996686699, 996989699, 999686999, 90689098609, 90899999809, 90999899909, 96099899069, 96600800669, 96609890669, 98000000089, 98844444889, 9009004009009, 9099094909909, 9600098900069, 9668000008669, 9699998999969, 9844444444489, 9899900099989, 9900004000099, 9900994990099, 900006898600009, 900904444409009, 966666989666669, 966668909866669, 966699989996669, 999090040090999, 999904444409999, 90000006860000009, 90000008480000009, 90000089998000009, 90999444444499909, 96000060806000069, 99900944444900999, 99990009490009999, 99999884448899999, 9000090994990900009, 9000094444444900009, 9666666080806666669, 9666666668666666669, 9909999994999999099, 9999444444444449999, 9999909994999099999, 9999990994990999999, 900000000080000000009, 900999994444499999009, 90000000009490000000009, 90909444444444444490909, 98999999444444499999989, 9904444444444444444444099, 999999999844444448999999999, 90944444444444444444444444909, 99999999999944444999999999999, 99999999999999499999999999999, 9999999999990004000999999999999, 900000000999999949999999000000009, 989999999999998444899999999999989, 9000000999999999994999999999990000009.

 

Da notare il primo palindromo 11933316181512171330203317121518161333911: continuando a cancellare cifre a coppie, una all’inizio e una alla fine, si ottengono sempre primi palindromi, fino a restare col numero 2.

Non si può aggiungere una coppia di cifre per allungare la sequenza, ma aggiungendo zeri alle estremità e quindi una coppia di cifre uguali e diverse da zero, si può costruire una sequenza ancor più lunga: 90011933316181512171330203317121518161333911009. Non è noto se esista un limite alla possibilità di aggiungere cifre intercalate da zeri in questo modo, ottenendo sempre numeri primi.

 

Sono note alcune coppie di primi palindromi consecutivi (Amarnath Murthy, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org):

  • 2, 3;

  • 3, 5;

  • 5, 7;

  • 7, 11;

  • 181, 191;

  • 787, 797;

  • 919, 929.

 

Sono note alcune terne di primi palindromi consecutivi (P. De Geest, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org):

  • 3, 5, 7;

  • 5, 7, 11;

  • 1879781, 1878781, 1880881;

  • 1879781, 1880881, 1881881;

  • 1968691, 1969691, 1970791;

  • 3589853, 3590953, 3591953;

  • 7819187, 7820287, 7821287;

  • 108484801, 108494801, 108505801;

  • 159181951, 159191951, 159202951;

  • 160696061, 160707061, 160717061;

  • 175090571, 175101571, 175111571;

  • 187090781, 187101781, 187111781;

  • 316686613, 316696613, 316707613;

  • 319393913, 319404913, 319414913;

  • 725585527, 725595527, 725606527;

  • 728888827, 728898827, 728909827;

  • 731898137, 731909137, 731919137;

  • 904080409, 904090409, 904101409;

  • 921191129, 921202129, 921212129;

  • 930494039, 930505039, 930515039;

  • 987191789, 987202789, 987212789;

  • 987484789, 987494789, 987505789;

  • 10456865401, 10456965401, 10457075401;

  • 10744944701, 10745054701, 10745154701.

 

Se sono corrette varie congetture sui numeri primi, secondo le quali la differenza tra primi consecutivi cresce meno velocemente della radice quadrata dei primi, le coppie e le terne sono in numero finito e le liste potrebbero essere complete.

 

La tabella seguente riporta le terne note di primi palindromi in progressione aritmetica (Harvey Dubner, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org e Warut Roonguthai).

Minimo primo

Differenza tra termini consecutivi

3

2

3

4

11

90

727

30

10501

1920

74747

810

79397

300

94049

300

1120211

3000

1123211

3000

1180811

3000

1190911

3000

1212121

3000

1640461

3000

3627263

8100

3991993

3000

7690967

3000

9932399

3000

110343011

81000

114818411

30000

115737511

30000

122232221

30000

127747721

81000

130222031

111000

139222931

30000

144818441

30000

147313741

30000

153424351

30000

 

La tabella seguente riporta le quaterne note di primi palindromi in progressione aritmetica (Harvey Dubner, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org e Warut Roonguthai).

Minimo primo

Differenza tra termini consecutivi

10301

810

13931

3030

70607

3030

73637

1920

94049

300

1120211

3000

159202951

30000

185595581

81000

190404091

30000

317565713

81000

10832723801

810000

10875857801

810000

12134643121

1110000

13201010231

1110000

13202120231

1110000

16831813861

810000

16832623861

810000

30113031103

300000

31975057913

300000

33396769333

810000

34842724843

1920000

 

La tabella seguente riporta le cinquine note di primi palindromi in progressione aritmetica (Harvey Dubner, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org e Warut Roonguthai).

Minimo primo

Differenza tra termini consecutivi

1114111

221220

1150511

112110

7190917

101010

9185819

199020

9585859

101010

13201010231

1110000

16831813861

810000

3026159516203

8100000

303551090155303

81000000

310917383719013

81000000

336539111935633

111000000

393398454893393

111000000

705345191543507

81000000

979863191368979

81000000

10899190809199801

81000000

11492200000229411

10101000000

 

La tabella seguente riporta le sestine note di primi palindromi in progressione aritmetica (Harvey Dubner e Warut Roonguthai).

Minimo primo

Differenza tra termini consecutivi

10696969601

989999010

12374047321

989999010

13308880331

1108891110

14282128241

989999010

19125452191

10101000

1931602100012061391

11100000000

 

La tabella seguente riporta le sequenze note di sette primi palindromi in progressione aritmetica (Warut Roonguthai).

Minimo primo

Differenza tra termini consecutivi

1251700071521

101010101010

7056994996507

99989900010

349263515362943

1010100000

 

Per sequenze più lunghe segnalo i record di Harvey Dubner:

  • 8 primi palindromi in progressione aritmetica, a partire da 14251705901010950715241, con differenza 10101000000000 tra termini consecutivi;

  • 9 primi palindromi in progressione aritmetica, a partire da 159056556140202041655650951, con differenza 1010100000000000 tra termini consecutivi;

  • 10 primi palindromi in progressione aritmetica, a partire da 742950290870000078092059247, con differenza 1010100000000000 tra termini consecutivi;

Non sembrano possibili progressioni aritmetiche di 11 o più primi palindromi, ma non è stato dimostrato.

 

I minimi primi di Sophie Germain p palindromi e tali che anche 2p + 1 sia palindromo, sono: 2, 3, 5, 191, 19391, 38183, 1508051, 1609061, 1628261, 3717173, 3916193, 161535161, 161838161, 170646071, 172747271, 182949281, 190909091, 352909253, 354848453, 360818063, 364636463, 15052625051, 15150805151, 15253635251 (Harvey Dubner, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

I minimi primi di Sophie Germain p palindromi e tali che anche 2p + 1 e 4p + 3 siano palindromi sono: 19091918181818181919091, 1908080909080809090808091, 18180808191908180919180808181, 1808080818180818180818180808081, 1808190918090818180908190918081, 18080818080919081918091908081808081 (H. Dubner, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Il massimo noto è 181818180808081808080818081808181808180818181808180808081818080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808081818080808180818181808180818180818081808080818080808181818 (Harvey Dubner, 1999).

 

I minimi primi diedri (II) palindromi sono: 2, 5, 11, 101, 181, 18181, 1008001, 1022201, 1055501, 1082801, 1085801, 1180811, 1208021, 1221221, 1250521, 1280821, 1508051, 1520251, 1551551, 1580851, 1802081, 1805081, 1880881, 1881881, 100111001, 100888001, 108101801 (Felice Russo, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Il massimo primo diedro (II) noto è Primo diedro palindromo, che ha 180055 cifre (Darren Bedwell, 2009).

 

I minimi primi buoni palindromi sono: 5, 11, 101, 191, 727, 929, 30803, 74047, 77477, 1123211, 1150511, 1338331, 1444441, 1684861, 1761671, 3065603, 3392933, 3503053, 3541453, 9779779, 9845489, 9926299, 9927299, 9932399, 112959211, 113030311, 114535411, 119676911 (Farideh Firoozbakht, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Il minimo primo palindromo che sia anche un numero di Riesel è 1835211125381.

 

La tabella seguente mostra i primi inferiori a 106 che si possono esprimere come somma di 3 primi palindromi consecutivi, nel senso che tra il primo e l’ultimo non vi sono altri primi palindromi).

Primo

Addendi

23

5, 7, 11

383

101, 131, 151

463

131, 151, 181

523

151, 181, 191

857

191, 313, 353

1039

313, 353, 373

1109

353, 373, 383

1483

373, 383, 727

1867

383, 727, 757

2341

757, 787, 797

2503

787, 797, 919

12149

919, 929,10301

32413

11501, 11601, 11311

37963

12421, 12721, 12821

38873

12721, 12821, 13331

39983

12821, 13331, 13831

43013

13931, 14341, 14741

44533

14341, 14741, 15451

52103

16661, 17471, 17971

53623

17471, 17971, 18181

56053

18181, 18481, 19391

59273

19391, 19891, 19991

90709

30103, 30203, 30403

91309

30203, 30403, 30703

91909

30403, 30703, 30803

93329

30803, 31013, 31513

94849

31013, 31513, 32323

96259

31513, 32323, 32423

111409

36563, 37273, 37573

180007

39293, 70207, 70507

215461

71317, 71917, 72227

219001

72727, 73037, 73237

219911

73037, 73237, 73637

224351

74047, 74747, 75557

233941

77477, 77977, 78487

237071

78787, 78887, 79397

250403

79697, 79997, 90709

274867

90709, 91019, 93139

284447

94649, 94849, 94949

285757

94849, 94949, 95959

288697

95959, 96269, 96469

290617

96469, 96769, 97379

291727

96769, 97379, 97579

292837

97379, 97579, 97879

 

La tabella seguente mostra invece i casi noti di primi palindromi uguali alla somma di tre primi palindromi consecutivi, sempre nel senso che tra il primo e l’ultimo non vi sono altri primi palindromi (Carlos Rivera).

Primo palindromo

Addendi

383

101, 131, 151

90709

30103, 30203, 30403

94849

31013, 31513, 32323

3698963

1221221, 1235321, 1242421

308898803

102838201, 103000301, 103060301

330595033

110111011, 110232011, 110252011

333080333

111010111, 111020111, 111050111,

399191993

133020331, 133060331, 133111331

906989609

302313203, 302333203, 302343203

969787969

323222323, 323232323, 323333323

33064846033

11021312011, 11021412011, 11022122011

36907970963

12301010321, 12303230321 12303730321

39008680093

13002220031, 13002420031, 13004040031

39301810393

13100100131, 13100300131, 13101410131

3000000000000006329977799236000000000000003

1000000000000002109952599012000000000000001, 1000000000000002110000000112000000000000001, 1000000000000002110025200112000000000000001

 

Lo stesso Rivera trovò il seguente notevole esempio di primo palindromo uguale alla somma di tre primi palindromi (non consecutivi): 3(0)429996779776999(0)423 = 1(0)423332222222333(0)421 + 1(0)423332253522333(0)421 + 1(0)423332304032333(0)421; il record fu battuto nel 2003 da Jens Kruse Andersen con 3(0)243303093669008858800966390303(0)2433 = 1(0)243101031223000000000322130101(0)2431 + 1(0)243101031223000313000322130101(0)2431 + 1(0)243101031223008545800322130101(0)2431.

 

I primi palindromi della forma k2 + 1, sono molto rari; gli unici noti sono: 2, 5, 101 e 1018264464644628101.

 

Il massimo primo palindromo noto della forma k + (k + 1)2 è 984417984040090040489714489.

 

Si conoscono primi palindromi noti della forma x2 + (x + 1)n solo per n uguale a 2 e x uguale a 1, 9, 12 e 1262, corrispondenti ai primi 5, 181, 313 e 3187813, uguali alla somma di due quadrati consecutivi. Non se ne ottengono altri per alcun valore di n sino a 1020 e di x sino a 2 • 1010 (P. de Geest).

 

Il minimo primo palindromo che sia la somma dei quadrati di 3 interi consecutivi è 9203225223029 = 17514962 + 17514972 + 17514982.

 

In base 10 il minimo palindromo che sia somma dei quadrati di una coppia di primi gemelli è 2080802 = 10192 + 10212.

 

Il massimo primo palindromo noto scritto con due cifre alternate è Primo palindromo formato da due cifre alternate, ossia 3232323...3232: 6959 cifre in tutto.

 

Il massimo primo palindromo noto formato da sole cifre che siano numeri primi (2, 3, 5 e 7) è Primo palindromo formato da sole cifre prime; le sue 36401 cifre sono in gran parte 7, con qualche 3 e 5, ma nessun 2.

 

Il massimo primo palindromo noto scritto usando solo le cifre 0 e 1 è 1(0)2415111111111(0)24151, per un totale di 4841 cifre). (Harvey Dubner).

 

Il minimo primo palindromo e pandigitale è 102345987896543201.

Il minimo primo palindromo che contenga tutte le cifre che sono numeri primi è 7352537.

Il minimo primo palindromo che contenga tutte le cifre che non sono numeri primi è 148969841.

Il minimo primo palindromo che contenga tutte le cifre dispari è 135979531.

 

Nel 2005 Paul Jobling scoprì il primo palindromo e felice di 150007 cifre 10150006 + 7426247 • 1075000 + 1, il massimo a oggi noto.

 

Per la somma dei reciproci dei primi palindromi v. la costante di Honaker.

 

Sono anche stati considerati i primi palindromi ottenuti scrivendo le prime cifre decimali di π, prima in ordine, poi a rovescio; i primi palindromi ottenuti in questo modo sono: 3, 313, 31415926535897932384626433833462648323979853562951413, poi quelli con 301 (Carlos Rivera), 921 (Carlos Rivera) e 4011 cifre; se ve ne sono altri, hanno più di 113511 cifre.

 

Anche per i primi palindromi la ricerca è stata estesa a varie basi, soprattutto alla caccia di primi palindromi in due o più basi. La tabella seguente riporta i massimi primi noti che siano palindromi in base 10 e in un’altra base per n fino a 30 (Patrick De Geest, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org) e contiene tutti i numeri primi palindromi in due basi inferiori a 109.

Base

Numeri

2

3 = 112, 5 = 1012, 7 = 1112, 313 = 1001110012, 7284717174827 = 11010100000000110101111101011000000001010112, 390714505091666190505417093 = 101000011001100010000001111000011000110001110111000110001100001111000000100011001100001012

3

2 = 23, 151 = 121213, 757 = 10010013, 93739 = 112021202113, 7949497 = 1122212121222113, 112969211 = 212121201021212123

4

2 = 24, 3 = 34, 5 = 114, 373 = 113114, 787 = 301034, 3826283 = 322120212234, 73979697937 = 10103212020212301014

5

2 = 25, 3 = 35

6

2 = 26, 3 = 36, 5 = 56, 7 = 116, 191 = 5156, 108151801 = 144220224416, 11271517211 = 51022434220156, 155259838952551 = 13101132151231101316

7

2 = 27, 3 = 37, 5 = 57, 16561 = 661667, 9470749 = 1433333417, 90750705709 = 63616131616367

8

2 = 28, 3 = 38, 5 = 58, 7 = 78, 373 = 5658, 13331 = 320238, 30103 = 726278, 1496941 = 55535558, 1970791 = 74111478, 713171317 = 52404205658

9

2 = 29, 3 = 39, 5 = 59, 7 = 79, 191 = 2329, 373 = 4549, 3106013 = 57535759, 1400232320041 = 48552171255849

11

2 = 211, 3 = 311, 5 = 511, 7 = 711, 787 = 65611, 38183 = 2676211, 3286823 = 194549111, 998111899 = 47245427411, 999454999 = 47319137411

12

2 = 212, 3 = 312, 5 = 512, 7 = 712, 11 = B12, 181 = 13112, 797 = 65612, 713171317 = 17AA0AA7112

13

2 = 213, 3 = 313, 5 = 513, 7 = 713, 11 = B13, 313 = 1B113, 353 = 21213, 797 = 49413

14

2 = 214, 3 = 314, 5 = 514, 7 = 714, 11 = B14, 9046409 = 12B6B2114, 14203330241 = 98A4C4A8914

15

2 = 215, 3 = 315, 5 = 515, 7 = 715, 11 = B15, 919 = 41415

16

2 = 216, 3 = 316, 5 = 516, 7 = 716, 11 = B16, 353 = 16116, 787 = 31316, 94049 = 16F6116, 98689 = 1818116, 190080091 = B54645B16, 3405684865043 = 318F2A2F81316, 397922151229793 = 169E87878E96116

17

2 = 217, 3 = 317, 5 = 517, 7 = 717, 11 = B17

18

2 = 218, 3 = 318, 5 = 518, 7 = 718, 11 = B18, 1832381 = H838H18, 386454683 = B69696B18

19

2 = 219, 3 = 319, 5 = 519, 7 = 719, 11 = B19, 1551551 = BH3HB19, 155292551 = 35DBD5319, 330050033 = 705B50719

20

2 = 220, 3 = 320, 5 = 520, 7 = 720, 11 = B20, 1917191 = BJCJB20

Da notare che non si conoscono primi che siano palindromi di più di una cifra in base 10 e in una delle basi 5 e 17; se ve ne sono, sono maggiori di 109 (M. Fiorentini, 2015).

 

La tabella seguente mostra il minimo primo palindromo di almeno 2 cifre in esattamente n basi differenti (Randy L. Ekl, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org). Per esempio, 191 = 5156 = 2329 = 11190 è il minimo primo palindromo in 4 basi diverse: 6, 9, 10 e 190.

n

Minimo primo

Basi

0

2

-

1

3

2

2

5

2, 4

3

17

2, 4, 16

4

191

6, 9, 10, 190

5

257

2, 4, 7, 16, 256

6

1009

11, 15, 19, 24, 28, 1008

7

4561

4, 31, 47, 48, 57, 60, 4560

8

4591

19, 20, 24, 33, 37, 51, 54, 4590

9

21601

12, 29, 33, 69, 108, 120, 135, 144, 21600

10

57601

9, 47, 51, 87, 180, 192, 200, 225, 240, 57600

11

54121

46, 47, 50, 61, 70, 76, 87, 165, 205, 220, 54120

12

86677

2, 48, 58, 64, 66, 70, 94, 107, 113, 151, 233, 86676

13

176401

59, 69, 73, 136, 300, 315, 336, 350, 360, 392, 400, 420, 176400

14

415801

82, 159, 208, 462, 495, 504, 525, 540, 550, 594, 600, 616, 630, 415800

15

291721

122, 146, 148, 172, 205, 233, 311, 390, 408, 429, 440, 442, 510, 520, 291720

16

950041

138, 152, 192, 219, 239, 696, 728, 754, 780, 812, 819, 840, 870, 910, 936, 950040

17

1259701

126, 147, 184, 185, 199, 279, 299, 423, 850, 884, 950, 969, 975, 988, 1020, 1105, 1259700

18

3049201

164, 266, 348, 505, 619, 757, 1260, 1320, 1386, 1400, 1452, 1540, 1575, 1584, 1650, 1680, 1694, 3049200

19

1670761

10, 121, 161, 348, 591, 918, 936, 945, 952, 1020, 1071, 1080, 1092, 1105, 1170, 1190, 1224, 1260, 1670760

20

6098401

219, 558, 833, 1009, 1760, 1800, 1815, 1848, 1925, 1936, 1980, 2016, 2100, 2178, 2200, 2310, 2400, 2420, 2464, 6098400

21

3880801

40, 369, 388, 472, 1400, 1440, 1470, 1540, 1568, 1575, 1584, 1617, 1650, 1680, 1760, 1764, 1800, 1848, 1925, 1960, 3880800

22

5654881

249, 387, 977, 1683, 1760, 1785, 1836, 1848, 1870, 1890, 1904, 1980, 2016, 2040, 2079, 2142, 2160, 2244, 2295, 2310, 2376, 5654880

23

13759201

292, 528, 1253, 2646, 2700, 2730, 2800, 2808, 2912, 2925, 2940, 3024, 3120, 3150, 3185, 3276, 3360, 3510, 3528, 3600, 3640, 3675, 13759201

24

18618601

374, 438, 765, 774, 940, 2969, 3080, 3100, 3224, 3255, 3300, 3410, 3432, 3575, 3640, 3720, 3850, 3900, 4004, 4030, 4092, 4200, 4290, 18618600

25

14414401

262, 2730, 2772, 2800, 2860, 2880, 2912, 2925, 3003, 3080, 3120, 3150, 3168, 3276, 3300, 3360, 3432, 3465, 3520, 3575, 3600, 3640, 3696, 3744, 14414401

26

18960481

57, 313, 680, 1396, 3080, 3135, 3168, 3192, 3240, 3344, 3360, 3420, 3465, 3564, 3591, 3696, 3762, 3780, 3960, 3990, 4104, 4158, 4180, 4256, 4320, 18960480

27

15135121

292, 473, 533, 611, 1565, 2772, 2808, 2860, 2940, 2970, 3003, 3024, 3080, 3120, 3185, 3234, 3276, 3432, 3465, 3510, 3528, 3640, 3696, 3780, 3822, 3861, 15135120

28

31600801

3203, 3990, 4104, 4158, 4180, 4200, 4256, 4275, 4320, 4389, 4400, 4560, 4620, 4725, 4752, 4788, 4950, 5016, 5040, 5130, 5225, 5280, 5320, 5400, 5472, 5544, 5600, 31600800

29

45405361

764, 2514, 4851, 4914, 5005, 5040, 5096, 5148, 5265, 5292, 5390, 5460, 5544, 5616, 5670, 5720, 5733, 5880, 5940, 6006, 6160, 6237, 6370, 6435, 6468, 6480, 6552, 6615, 45405360

30

35814241

358, 1023, 1099, 2993, 4256, 4284, 4389, 4488, 4522, 4560, 4620, 4760, 4788, 4845, 4896, 5016, 5040, 5168, 5236, 5280, 5320, 5355, 5472, 5544, 5610, 5712, 5814, 5852, 5984, 35814240

 

Il massimo primo palindromo noto in base 2 e 3 è 1922624336133018996235 = 110100000111001110001011100011100110110011100011101000111001110000010112 = 1221201021020112121120102112121102012010212213.

 

In qualsiasi base b, vi è al massimo un solo primo palindromo con un numero pari di cifre: 11b, palindromo in tutte le basi della forma p – 1, con p primo, come 2, 10 e 16.

 

Vi sono infinite sequenze palindrome di cifre che non rappresentano un primo in nessuna base; la minima delle quali è 1001; infatti, in qualsiasi base b 1001b è divisibile per 11b.

 

I primi palindromi in notazione romana sono: II = 2, III = 3, V = 5, XIX = 19, CIC = 199, MIM = 1999.

In realtà la notazione romana comprendeva altri simboli di uso raro e la sopralineatura per moltiplicare per mille (se semplice) o per un milione (se doppia) quindi l’elenco potrebbe essere esteso con O = 11, CIC= 199999 e 19999999 in notazione romana.

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Gardner, Martin;  The Colossal Book of Mathematics, New York, W.W. Norton & Company, 2001.
  • Guy, Richard K.;  Woodrow, Robert E.;  The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugene Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and Its History, Washington, Mathematical Association of America, 1994.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  "Linguistica aritmetica" in Le Scienze, Milano, n. 457, Settembre 2006, pag. 103.
  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Pickover, Clifford A.;  The Wonders of Numbers, New York, Oxford University Press, 2001.
  • Trigg, C.W.;  "Palindromic Cubes" in Mathematics Magazine, Vol. 34, Marzo 1961.

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