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Palindromi (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Somme palindrome
  3. 3. Potenze palindrome
  4. 4. Primi palindromi
  5. 5. Numeri figurati palindromi

Per quanto riguarda le potenze palindrome, vi sono vari risultati interessanti. Iniziamo con i quadrati:

  • esistono infiniti quadrati palindromi, i minimi dei quali sono 1 = 12, 4 = 22, 9 = 32 e 121 = 112; in particolare tutti i numeri della forma bn + 1 (ovvero 1(0)n1 in base b), come 1001, hanno quadrati palindromi, per qualsiasi base b maggiore di 2;

  • la maggior parte dei quadrati palindromi ha basi palindrome; le eccezioni inferiori a 109 sono: 676 = 262, 69696 = 2642, 94249 = 3072, 698896 = 8362, 5221225 = 22852, 6948496 = 26362, 522808225 = 228652, 617323716 = 248462, 942060249 = 306932;

  • i quadrati palindromi con un numero pari di cifre sono molto rari; i minimi noti sono: 698896 = 8362, 637832238736 = 7986442, 4099923883299904 = 640306482, 6916103777337773016196 = 831631154862, 40460195511188111559106404 = 63608329258982, 4872133543202112023453312784 = 698006700770282, 9658137819052882509187318569 = 982758252015872, 46501623417708833880771432610564 = 68192098822157422.

 

La tabella seguente mostra i quadrati palindromi fino a 109.

Base

Quadrato

0

0

1

1

2

4

3

9

11

121

22

484

26

676

101

10201

111

12321

121

14641

202

40804

212

44944

264

69696

307

94249

836

698896

1001

1002001

1111

1234321

2002

4008004

2285

5221225

2636

6948496

10001

100020001

10101

102030201

10201

104060401

11011

121242121

11111

123454321

11211

125686521

20002

400080004

20102

404090404

22865

522808225

24846

617323716

30693

942060249

Il massimo quadrato palindromo noto con base non palindroma e un numero pari di cifre è 4.211.672.540.455.378.958.718.869.999.688.178.598.735.540.452.761.124 = 64.897.400.105.515.621.177.314.6822.

Il massimo quadrato palindromo noto con base non palindroma e un numero dispari di cifre è 1.886.536.671.850.530.641.991.373.196.913.731.991.460.350.581.766.356.881 = 1.373.512.530.649.258.635.292.477.6092 (Feng Yuan, 2008).

 

Per quanto riguarda i cubi:

  • esistono infiniti cubi palindromi, i minimi dei quali sono 1 = 13, 8 = 23, 343 = 73 e 1331 = 113, in particolare tutti i numeri della forma bn + 1 (ovvero 1(0)n1 in base b), come 1001, hanno cubi palindromi in qualsiasi base b maggiore di 3;

  • l’unico cubo palindromo con base non palindroma noto è 10662526601 = 22013; la ricerca di altri numeri del genere è stata estesa sino a 1015 (Charles Greathouse, 2011), senza risultato;

  • sono palindromi tutti i cubi dei numeri della foma 10n + 1, 102n + 10n + 1 o (10n + 1)(10m + 1), per qualsiasi valore di n e m maggiori di zero con nm, tranne n = 2, m = 1; gli unici cubi palindromi noti che non rientrino in queste categorie sono quelli di 2 (che si potrebbe far rientrare nella prima categoria per n = 0), 7 e 2201.

In pratica, tranne le suddette eccezioni, tutti i cubi palindromi noti hanno quindi per base tutti e soli i numeri palindromi, scritti con vari 0 e due, tre o quattro 1, escludendo 1111. Di conseguenza, escludendo i cubi di 7 e 2201, il numero di cifre ha la forma 3n + 1.

 

La tabella seguente mostra i cubi palindromi fino a 109.

Base

Cubo

0

0

1

1

2

8

7

343

11

1331

101

1030301

111

1367631

1001

1003003001

2201

10662526601

10001

1000300030001

10101

1030607060301

11011

1334996994331

100001

1000030000300001

101101

1033394994933301

110011

1331399339931331

1000001

1000003000003000001

1001001

1003006007006003001

1100011

1331039930399301331

10000001

1000000300000030000001

10011001

1003303931991393033001

10100101

1030331909339091330301

 

Gli unici biquadrati palindromi noti sono quelli dei numeri della forma 10n + 1, come 1001; la ricerca di altri numeri del genere è stata estesa sino a 2.8 • 1014 (Gustavus J. Simmons), senza risultato.

 

Gustavus J. Simmons ha avanzato la congettura che in base 10 non vi siano potenze palindrome con esponente maggiore di 4.

Potenze palindrome con esponente maggiore di 4 sono note in altre basi; per esempio:

  • in base 18 sono palindromi: 73 = 343 = 11118, 74 = 2401 = 77718, 76 = 117649= 12321118 e 79 = 40353607 = 136763118;

  • in base 24 sono palindromi: 52 = 25 = 1125, 53 = 125 = 5525, 54 = 625 = 12125, 55 = 3125 = 5A525, 56 = 15625 = 133125, 57 = 78125 = 5FF525, 58 = 390625 = 1464125, 510 = 9765625 = 15AA5125, 512 = 244140625 = 16FKF6125.

In effetti (bn + 1)2n è palindromo in tutte le basi maggiori di Coefficiente binomiale C(2n, n) e (bn + 1)2n + 1 è palindromo in tutte le basi maggiori di Coefficiente binomiale C(2n + 1, n); se (bn + 1) è a sua volta una potenza (come nel caso di 241 + 1 = 25 = 52 = 1124) si possono avere potenze con esponente anche alti. Per esempio, 261 + 1 = 27 = 33 = 27 = 1126 e 318 = 387420489 = 16FK6F126.

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Gardner, Martin;  The Colossal Book of Mathematics, New York, W.W. Norton & Company, 2001.
  • Guy, Richard K.;  Woodrow, Robert E.;  The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugene Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and Its History, Washington, Mathematical Association of America, 1994.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  "Linguistica aritmetica" in Le Scienze, Milano, n. 457, Settembre 2006, pag. 103.
  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Pickover, Clifford A.;  The Wonders of Numbers, New York, Oxford University Press, 2001.
  • Trigg, C.W.;  "Palindromic Cubes" in Mathematics Magazine, Vol. 34, Marzo 1961.

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