Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Palindromi (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Somme palindrome
  3. 3. Potenze palindrome
  4. 4. Primi palindromi
  5. 5. Numeri figurati palindromi

Si dicono “palindromi” i numeri naturali che presentano lo stesso ordine di cifre letti da destra a sinistra o da sinistra a destra.

Buckminster Fuller (12/7/1895 – 1/7/1983) nel suo libro Synergetics propose per questi numeri il nome “numeri di Sheherazade”, con riferimento alla narratrice delle favole in Le mille e una notte, perché 1001 è appunto palindromo.

 

Sono infiniti in qualsiasi base; più precisamente, in base b vi sono bn(b – 1) numeri palindromi di esattamente 2n + 1 e 2n + 2 cifre e quindi bn + bn – 1 – 1 palindromi con al massimo 2n – 1 cifre e 2bn – 1 con al massimo 2n cifre, includendo anche 0 nel conteggio.

Il numero di interi palindromi inferiori a n cresce quindi come Radice quadrata di n e pertanto in qualsiasi base la somma dei reciproci dei numeri palindromi converge a un limite finito. Nel caso della base 10 tale limite vale circa 3.3702832595.

 

Il primo problema che i numeri palindromi pongono è naturalmente quello di generarli; è molto facile scrivendoli, in una data base, tranne in notazioni leggermente astruse; per esempio, i primi numeri palindromi in base fattoriale (v. rappresentazione dei numeri) sono: 1F = 1, 11F = 3, 101F = 7, 111F = 9, 121F = 11, 1001F = 25, 1111F = 33, 1221F = 41, 10001F =121, 10101F = 127, 10201F = 133, 10301F = 139, 11011F = 147, 11111F = 153, 11211F = 159, 11311F = 165, 12021F = 173, 12121F = 179, 12221F = 185, 12321F = 191, 100001F = 721, 101101F = 751, 102201F = 781, 103301F = 811, 110011F = 843, 111111F = 873, 112211F = 903, 113311F = 933, 120021F = 965, 121121F = 995, 122221F = 1025, 123321F = 1055, 1000001F = 5041, 1001001F = 5065, 1002001F = 5089, 1003001F = 5113, 1004001F = 5137, 1010101F = 5167, 1011101F = 5191, 1012101F = 5215, 1013101F = 5239, 1014101F = 5263, 1020201F = 5293, 1021201F = 5317, 1022201F = 5341, 1023201F = 5365, 1024201F = 5389, 1030301F = 5419, 1031301F = 5443, 1032301F = 5467, 1033301F = 5491, 1034301F = 5515, 1100011F = 5763, 1101011F = 5787, 1102011F = 5811, 1103011F = 5835, 1104011F = 5859, 1110111F = 5889, 1111111F = 5913.

 

Esistono funzioni capaci di produrre numeri palindromi?

E’ facile trovare funzioni ad argomento intero che producano solo palindromi: per esempio, bn + 1 produce numeri solo numeri palindromi in qualsiasi base b, tranne che in base 2 per n = 0, ma il problema della base 2 si può risolvere con la formula 2n + 1 + 1.

Se ci si limita ai polinomi, è facile trovarne che producano infiniti palindromi, come n2 + 1, che produce un numero palindromo in base b quando n è una potenza di b, mentre non credo esistano polinomi che producano solo numeri palindromi, ma non è stato dimostrato.

 

E’ facile anche trovare funzioni ad argomento intero che non producano palindromi: per esempio, bn + 1 + 2 produce solo numeri non palindromi in qualsiasi base b maggiore di 2; in base 2 alcuni esempi sono: 2n + 39, 2n + 3 + 3, 2n + 3n + 1.

Se ci si limita ai polinomi, tutti quelli che producono esclusivamente multipli della base non producono mai palindromi, ma al di fuori di questi che io sappia non è stato trovato alcun polinomio che non produca palindromi, fissata la base, ma non è neppure stato dimostrato che non possa esistere.

 

Dato che i numeri palindromi sono piuttosto comuni e non particolarmente interessanti in sé, i ricercatori si sono sbizzarriti nella caccia a palindromi con caratteristiche particolari.

 

La ricerca più ovvia e quella di numeri palindromi in più basi; sono probabilmente infiniti per qualsiasi coppia di basi, ma non è stato dimostrato, tranne nel caso di basi che siano entrambe potenze dello stesso intero come 4 e 8. Infatti, se un numero è palindromo in una base m, potenza di n, è anche palindromo in base n; di conseguenza i numeri palindromi in base nmcm(m, k), sono palindromi in base nm e nk. Per esempio, i numeri palindromi in base 64 sono palindromi in base 2, 4 e 8.

 

Ogni intero n è palindromo in tutte le basi superiori a n (perché rappresentato con una sola cifra) e, se n > 2, in base n – 1 (perché rappresentato come 11n – 1).

Ogni intero n è inoltre palindromo di due cifre in tutte le basi n diviso d meno 1, dove d è un divisore di n maggiore di n mezzi, e dato che non vi è limite al numero di divisori del genere, non vi è limite al numero di basi nelle quali un intero può essere palindromo di almeno 2 cifre.

 

La tabella seguente riporta i numeri inferiori a 109, palindromi in base 10 e in un’altra base.

Base

Numeri

2

1 = 12, 3 = 112, 5 = 1012, 7 = 1112, 9 = 10012, 33 = 1000012, 99 = 11000112, 313 = 1001110012, 585 = 10010010012, 717 = 10110011012, 7447 = 11101000101112, 9009 = 100011001100012, 15351 = 111011111101112, 32223 = 1111101110111112, 39993 = 10011100001110012, 53235 = 11001111111100112, 53835 = 11010010010010112, 73737 = 100100000000010012, 585585 = 100011101111011100012, 1758571 = 1101011010101011010112, 1934391 = 1110110000100001101112, 1979791 = 1111000110101100011112, 3129213 = 10111110111111011111012, 5071705 = 100110101100011010110012, 5259525 = 101000001000001000001012, 5841485 = 101100100100010010011012, 13500531 = 1100111000000000011100112, 719848917 = 1010101110100000000101110101012, 910373019 = 1101100100001100110000100110112, 939474939 = 1101111111111100111111111110112, 1290880921 = 10011001111000101000111100110012, 7451111547 = 1101111000001111011110000011110112

3

1 = 13, 2 = 23, 4 = 113, 8 = 223, 121 = 111113, 151 = 121213, 212 = 212123, 242 = 222223, 484 = 1222213, 656 = 2200223, 757 = 10010013, 29092 = 11102201113, 48884 = 21110011123, 74647 = 102101012013, 75457 = 102111112013, 76267 = 102121212013, 92929 = 112011102113, 93739 = 112021202113, 848848 = 11210101012113, 1521251 = 22120212021223, 2985892 = 121212002121213, 4022204 = 211201001021123, 4219124 = 212211001122123, 4251524 = 212222222222123, 4287824 = 220012112100223, 5737375 = 1012101110121013, 7875787 = 1122110101122113, 7949497 = 1122212121222113, 27711772 = 12210102201012213, 83155138 = 122101102011012213, 112969211 = 212121201021212123, 123464321 = 221210221220121223, 211131112 = 1122010211201022113, 239060932 = 1211222111122211213, 387505783 = 10000000111000000013, 520080025 = 11000201212102000113, 885626588 = 20212011101110212023

4

1 = 14, 2 = 24, 3 = 34, 5 = 114, 55 = 3134, 373 = 113114, 393 = 120214, 666 = 221224, 787 = 301034, 939 = 322234, 7997 = 13303314, 53235 = 303333034, 55255 = 311331134, 55655 = 312112134, 57675 = 320110234, 506605 = 13232232314, 1801081 = 123132313214, 2215122 = 201303031024, 3826283 = 322120212234, 3866683 = 323000003234, 5051505 = 1031011013014, 5226225 = 1033233233014, 5259525 = 1100100100114, 5297925 = 1100311300114, 5614165 = 1111222211114, 5679765 = 1112222221114, 53822835 = 30311101113034, 623010326 = 2110202120201124, 954656459 = 3203212321230234

5

1 = 15, 2 = 25, 3 = 35, 4 = 45, 6 = 115, 88 = 3235, 252 = 20025, 282 = 21125, 626 = 100015, 676 = 102015, 1221 = 143415, 15751 = 10010015, 18881 = 11010115, 10088001 = 100403040015, 10400401 = 101303031015, 27711772 = 240432340425, 30322303 = 302303032035, 47633674 = 441432341445, 65977956 = 1133422433115, 808656808 = 31240040042135, 831333138 = 32003101300235, 831868138 = 32004242400235, 836131638 = 32030222030235, 836181638 = 32030303030235

6

1 = 16, 2 = 26, 3 = 36, 4 = 46, 5 = 56, 7 = 116, 55 = 1316, 111 = 3036, 141 = 3536, 191 = 5156, 343 = 13316, 434 = 20026, 777 = 33336, 868 = 40046, 1441 = 104016, 7667 = 552556, 7777 = 1000016, 22022 = 2455426, 39893 = 5044056, 74647 = 13333316, 168861 = 33414336, 808808 = 252002526, 909909 = 313003136, 1867681 = 1040104016, 3097903 = 1502220516, 4232324 = 2304140326, 4265624 = 2312321326, 4298924 = 2320502326, 4516154 = 2404440426, 4565654 = 2415051426, 4598954 = 2423232426, 4849484 = 2515351526, 5100015 = 3011511036, 5182815 = 3030303036, 5400045 = 3114241136, 5433345 = 3122422136, 5482845 = 3133033136, 5733375 = 3225152236, 5766675 = 3233333236, 5799975 = 3241514236, 6901096 = 4035253046, 6934396 = 4043434046, 6983896 = 4054045046, 8164618 = 4505550546, 9081809 = 5223532256, 15266251 = 13031130316, 24466442 = 22322223226, 103656301 = 141414141416, 104888401 = 142240422416, 108151801 = 144220224416, 290222092 = 444442444446, 310393013 = 504444444056, 342050243 = 535351535356

7

1 = 17, 2 = 27, 3 = 37, 4 = 47, 5 = 57, 6 = 67, 8 = 117, 121 = 2327, 171 = 3337, 242 = 4647, 292 = 5657, 16561 = 661667, 65656 = 3622637, 2137312 = 241111427, 4602064 = 540550457, 6597956 = 1100400117, 6958596 = 1131013117, 9470749 = 1433333417, 61255216 = 13424424317, 230474032 = 54656656457, 466828664 = 143656563417, 485494584 = 150134310517, 638828836 = 215546455127, 657494756 = 222024202227, 858474858 = 301626261037

8

1 = 18, 2 = 28, 3 = 38, 4 = 48, 5 = 58, 6 = 68, 7 = 78, 9 = 118, 121 = 1718, 292 = 4448, 333 = 5158, 373 = 5658, 414 = 6368, 585 = 11118, 3663 = 71178, 8778 = 211128, 13131 = 315138, 13331 = 320238, 26462 = 635368, 26662 = 640468, 30103 = 726278, 30303 = 731378, 207702 = 6255268, 628826 = 23141328, 660066 = 24111428, 1496941 = 55535558, 1935391 = 73040378, 1970791 = 74111478, 4198914 = 200110028, 55366355 = 3231513238, 130535031 = 7617471678, 532898235 = 37606606738, 719848917 = 52720027258, 799535997 = 57517715758

9

1 = 19, 2 = 29, 3 = 39, 4 = 49, 5 = 59, 6 = 69, 7 = 79, 8 = 89, 191 = 2329, 282 = 3439, 373 = 4549, 464 = 5659, 555 = 6769, 646 = 7879, 656 = 8089, 6886 = 104019, 25752 = 382839, 27472 = 416149, 42324 = 640469, 50605 = 763679, 626626 = 11545119, 1540451 = 28070829, 1713171 = 32010239, 1721271 = 32131239, 1828281 = 33858339, 1877781 = 34717439, 1885881 = 34838439, 2401042 = 44585449, 2434342 = 45202549, 2442442 = 45323549, 2450542 = 45444549, 3106013 = 57535759, 3114113 = 57656759, 3122213 = 57777759, 3163613 = 58515859, 3171713 = 58636859, 3303033 = 61838169, 3360633 = 62818269, 65666656 = 1465056419, 167191761 = 3785358739, 181434181 = 4183538149, 232000232 = 5344844359, 382000283 = 8777177789

11

1 = 111, 2 = 211, 3 = 311, 4 = 411, 5 = 511, 6 = 611, 7 = 711, 8 = 811, 9 = 911, 232 = 1A111, 343 = 29211, 454 = 38311, 565 = 47411, 676 = 56511, 787 = 65611, 898 = 74711, 909 = 75711, 26962 = 1929111, 38183 = 2676211, 40504 = 2848211, 49294 = 3404311, 52825 = 3676311, 63936 = 4404411, 75157 = 5151511, 2956592 = 173A37111, 2968692 = 174847111, 3262623 = 192929111, 3274723 = 193739111, 3286823 = 194549111, 3298923 = 195359111, 3360633 = 199599111, 3372733 = 19A3A9111, 4348434 = 250005211, 4410144 = 254245211, 4422244 = 255055211, 4581854 = 264A46211, 4593954 = 265856211, 5643465 = 320502311, 5655565 = 321312311, 5667665 = 322122311, 5741475 = 327172311, 7280827 = 412321411, 7292927 = 413131411, 8710178 = 4A0A0A411, 8722278 = 4A181A411, 8734378 = 4A262A411, 8746478 = 4A343A411, 8758578 = 4A424A411, 8820288 = 4A848A411, 8832388 = 4A929A411, 8844488 = 4AA0AA411, 356777653 = 17343437111, 362151263 = 17647467111, 489525984 = 23136313211, 492080294 = 23284823211, 537181735 = 25625265211, 998111899 = 47245427411

12

1 = 112, 2 = 212, 3 = 312, 4 = 412, 5 = 512, 6 = 612, 7 = 712, 8 = 812, 9 = 912, 11 = B12, 181 = 13112, 555 = 3A312, 616 = 43412, 676 = 48412, 737 = 51512, 797 = 56512, 1111 = 78712, 8008 = 477412, 35953 = 1898112, 43934 = 2151212, 88888 = 4353412, 646646 = 27227212, 3192913 = 109B90112, 5641465 = 1A808A112, 8364638 = 297479212, 9963699 = 340604312, 133373331 = 387BB78312, 139979931 = 3AA66AA312, 293373392 = 8230032812, 520020025 = 1261A162112, 713171317 = 17AA0AA7112, 796212697 = 1A27972A112

13

1 = 113, 2 = 213, 3 = 313, 4 = 413, 5 = 513, 6 = 613, 7 = 713, 8 = 813, 9 = 913, 11 = B13, 222 = 14113, 313 = 1B113, 353 = 21213, 444 = 28213, 575 = 35313, 666 = 3C313, 797 = 49413, 1111 = 67613, 6776 = 311313, 8778 = 3CC313, 24542 = B22B13, 25452 = B77B13, 26362 = BCCB13, 56265 = 1C7C113, 311113 = AB7BA13, 2377732 = 65335613, 2713172 = 73CC3713, 2832382 = 78228713, 2906092 = 7A99A713, 8864688 = 1AB4BA113, 10122101 = 213531213, 13055031 = 292129213, 20244202 = 426A62413, 20944902 = 445454413, 23177132 = 4A565A413, 23877832 = 4C404C413, 33299233 = 6B8B8B613, 44166144 = 91C4C1913, 47099074 = 99B0B9913, 62611626 = CC828CC13, 656353656 = A5C99C5A13, 668666866 = A86BB68A13, 952404259 = 12241422113

14

1 = 114, 2 = 214, 3 = 314, 4 = 414, 5 = 514, 6 = 614, 7 = 714, 8 = 814, 9 = 914, 11 = B14, 323 = 19114, 464 = 25214, 717 = 39314, 858 = 45414, 999 = 51514, 1111 = 59514, 39593 = 1060114, 59095 = 1777114, 420024 = AD0DA14, 546645 = 10330114, 9046409 = 12B6B2114, 9578759 = 13B4B3114, 9813189 = 143634114, 535505535 = 5119911514, 564303465 = 54D33D4514, 595121595 = 5907709514

15

1 = 115, 2 = 215, 3 = 315, 4 = 415, 5 = 515, 6 = 615, 7 = 715, 8 = 815, 9 = 915, 11 = B15, 828 = 3A315, 858 = 3C315, 888 = 3E315, 919 = 41415, 949 = 43415, 979 = 45415, 1551 = 6D615, 2772 = C4C15, 23632 = 700715, 25552 = 788715, 60106 = 12C2115, 67576 = 1505115, 465564 = 92E2915, 477774 = 9686915, 489984 = 9A2A915, 515515 = A2B2A15, 527725 = A656A15, 17577571 = 182328115, 26144162 = 246664215, 28300382 = 274047215, 39399393 = 36D3D6315, 47999974 = 433233415, 69455496 = 616E61615

16

1 = 116, 2 = 216, 3 = 316, 4 = 416, 5 = 516, 6 = 616, 7 = 716, 8 = 816, 9 = 916, 11 = B16, 353 = 16116, 626 = 27216, 787 = 31316, 979 = 3D316, 1991 = 7C716, 3003 = BBB16, 39593 = 9AA916, 41514 = A22A16, 90209 = 1606116, 94049 = 16F6116, 96369 = 1787116, 98689 = 1818116, 333333 = 5161516, 512215 = 7D0D716, 666666 = A2C2A16, 749947 = B717B16, 845548 = CE6EC16, 1612161 = 18998116, 2485842 = 25EE5216, 5614165 = 55AA5516, 6487846 = 62FF2616, 9616169 = 92BB2916, 67433476 = 404F40416, 90999909 = 56C8C6516, 94355349 = 59FBF9516, 94544549 = 5A2A2A516, 119919911 = 725D52716, 161131161 = 99AAA9916, 190080091 = B54645B16, 241090142 = E5EBE5E16, 247969742 = EC7B7CE16

17

1 = 117, 2 = 217, 3 = 317, 4 = 417, 5 = 517, 6 = 617, 7 = 717, 8 = 817, 9 = 917, 11 = B17, 252 = EE17, 494 = 1C117, 545 = 1F117, 767 = 2B217, 818 = 2E217, 989 = 37317, 2882 = 9G917, 4554 = FCF17, 61416 = C88C17, 94249 = 1232117, 177771 = 2232217, 256652 = 3141317, 335533 = 4050417, 1388831 = GABAG17, 4165614 = 2FEEF217, 8837388 = 63DD3617, 31744713 = 156165117, 102757201 = 446564417, 103595301 = 44G5G4417, 123616321 = 521112517, 124454421 = 52B1B2517, 207535702 = 8A2E2A817, 208373802 = 8ACECA817, 212313212 = 8D909D817, 229232922 = 987A78917, 280535082 = BA9E9AB17, 335929533 = DFA1AFD17

18

1 = 118, 2 = 218, 3 = 318, 4 = 418, 5 = 518, 6 = 618, 7 = 718, 8 = 818, 9 = 918, 11 = B18, 171 = 9918, 323 = HH18, 343 = 11118, 505 = 1A118, 595 = 1F118, 686 = 22218, 848 = 2B218, 1661 = 52518, 2112 = 69618, 3773 = BBB18, 23332 = 400418, 46664 = 800818, 69996 = C00C18, 262262 = 28H8218, 583385 = 5A0A518, 782287 = 7828718, 859958 = 8383818, 981189 = 9646918, 1254521 = BH1HB18, 1403041 = D6A6D18, 1832381 = H838H18, 39388393 = 12F3F2118, 54411445 = 1AE5EA118, 55499455 = 1B6C6B118, 88844888 = 2B060B218, 118919811 = 38GEG8318, 191010191 = 5B1A1B518, 220313022 = 68ACA8618, 221050122 = 68HCH8618, 326959623 = 9B0B0B918, 327696723 = 9B7B7B918, 376222673 = B11G11B18, 385717583 = B62626B18, 386454683 = B69696B18, 387191783 = B6G6G6B18

19

1 = 119, 2 = 219, 3 = 319, 4 = 419, 5 = 519, 6 = 619, 7 = 719, 8 = 819, 9 = 919, 11 = B19, 666 = 1G119, 838 = 26219, 1771 = 4H419, 432234 = 3606319, 864468 = 6C0C619, 1551551 = BH3HB19, 1897981 = EADAE19, 2211122 = GI6IG19, 155292551 = 35DBD5319, 330050033 = 705B50719, 453848354 = 9C5A5C919, 467535764 = 9HFAFH919, 650767056 = DFFAFFD19, 666909666 = E36863E19, 857383758 = I45054I19, 863828368 = I6G8G6I19

20

1 = 120, 2 = 220, 3 = 320, 4 = 420, 5 = 520, 6 = 620, 7 = 720, 8 = 820, 9 = 920, 11 = B20, 252 = CC20, 6556 = G7G20, 6776 = GIG20, 7117 = HFH20, 10101 = 155120, 12621 = 1BB120, 20202 = 2AA220, 22722 = 2GG220, 30303 = 3FF320, 1784871 = B323B20, 1786871 = B373B20, 1788871 = B3C3B20, 1913191 = BJ2JB20, 1915191 = BJ7JB20, 1917191 = BJCJB20, 1919191 = BJHJB20

Qui trovate i numeri palindromi noti in base 2 e in base 10.

 

La tabella seguente riporta i massimi numeri noti che siano palindromi in base 10 e in un’altra base (The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Base

Numeri

2

1634587141488515712882175158841417854361 = 100110011011011101000001000010000011000111001011100111100011101000001011100011110011101001110001100000100001000001011101101100110012

3

6942498569658942496 = 12010202120210211101101112012021202010213

4

5808197420247918085 = 110021223130301331030313221200114

5

1877026246426207781 = 1112212010410101401021221115

6

5761547475747451675 = 11143503004303400305341116

7

9100681853581860019 = 222024520501050254202227

8

9843207767677023489 = 10423206250052602324018

9

547906983389609745 = 35761305616503167539

11

7861736017106371687 = 146104541514540164111

12

3967113331333117693 = 1955A21B11B12A559112

13

1624981894261 = BA3097903AB13

14

7327284858584827237 = 35158C59595C8515314

15

6747920044400297476 = 1062385AEA583260115

16

4616159308039516164 = 400FE46EE64EF00416

17

4552204672764022554 = 1A0A52EBBE25A0A117

18

188833338881 = H27GBG72H18

19

246025520642 = E949294919

20

96544000044569 = 98B50005B8920

 

Il massimo numero palindromo noto in base 2 e 3 è 1922624336133018996235 = 110100000111001110001011100011100110110011100011101000111001110000010112 = 1221201021020112121120102112121102012010212213

 

Un’altra area di ricerca è la caccia a numeri palindromi appartenenti anche ad altre categorie interessanti, come potenze, numeri primi, numeri figurati ecc.. La sfida è stabilire se tali numeri siano infiniti o meno ed eventualmente stabilire il record per il massimo trovato o scoprire una formula capace di generarli.

In questi casi le ricerche si limitano di solito alla base 10.

 

Vi sono infiniti coefficienti binomiali palindromi, perché Coefficiente binomiale C(n, 1) = C(n, n – 1) = n è palindromo se lo è n; a parte questi casi, Coefficiente binomiale C(n, 0) = C(n, n) = 1 e i numeri triangolari Coefficiente binomiale C(n, 2) = C(n, n – 2) = n(n – 1) / 2 palindromi, sono però noti pochi casi: Coefficiente binomiale C(10, 5) = 252, Coefficiente binomiale C(19, 3) = C(19, 16) = 969, Coefficiente binomiale C(14, 4) = C(14, 10) = 1001, Coefficiente binomiale C(23, 3) = C(23, 20) = 1771, Coefficiente binomiale C(14, 5) = C(14, 9) = 2002, Coefficiente binomiale C(14, 6) = C(14, 8) = C(15, 5) = C(15, 10) = C(78, 2) = C(78, 76) = 3003, Coefficiente binomiale C(15, 6) = C(15, 9) = 5005, Coefficiente binomiale C(16, 6) = C(16, 10) = 8008, Coefficiente binomiale C(22, 10) = C(22, 12) = 646646, Coefficiente binomiale C(39, 6) = C(39, 33) = 3262623, Coefficiente binomiale C(338, 4) = C(338, 335) = 6378736.

 

Gli pseudoprimi in base 2 palindromi noti sono: 101101, 129921, 1837381, 127665878878566721 e 1037998220228997301 (Shyam Sunder Gupta, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org); se ne esistono altri, sono maggiori di 264 (Charles R. Greathouse IV, 2011).

 

Il minimo numero di Carmichael palindromo è 101101; il successivo è 127665878878566721.

 

I numeri di Mersenne e Fermat sono palindromi in base 2.

 

Il minimo numero di Sierpiński palindromo noto è 196818691 il minimo numero di Sierpiński primo e palindromo noto è 375656573.

 

Esistono infiniti palindromi della forma k2 + 1, i primi sono: 1, 2, 5, 101, 626, 10001, 1000001, 1040401, 2217122, 5053505, 100000001, 101808101, 10000000001, 10182828101, 10408080401, 28053235082, 1000000000001, 1000400040001, 1018262628101, 7534662664357. Tutti devono avere un numero dispari di cifre.

Sono note quattro famiglie infinite di numeri del genere: (10n)2 + 1, (103n + 2 • 10n)2 + 1, (103n + 1 + 9 • 10n)2 + 1 e (105n + 2 • 103n + 2 • 10n)2 + 1.

Il massimo noto non appartenente a una delle famiglie infinite è 561,801,684,091,283,606,382,190,486,108,165 = 23,702,356,087,344,6422 + 1 (Feng Yuan, 2008).

 

Esistono infiniti palindromi della forma k2 – 1, i primi sono: 3, 8, 99, 323, 575, 4224, 5775, 9999, 36863, 42024, 999999, 3055503, 3640463, 5597955, 8803088, 32855823, 99999999, 360696063, 422919224, 9999999999, 30485858403, 30536863503, 32154945123, 59080108095, 86310801368 (Amarnath Murthy, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

La categoria comprende tutti i numeri della forma (10n)2 – 1.

 

I minimi numeri della forma n3 + n2 + n + 1 palindromi sono: 4, 585, 1111, 99499, 1010101, 1001001001, 1000100010001, 1000010000100001, 1000001000001000001, 1000000100000010000001 (Karl Goiser, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Gli unici numeri di partizioni palindromi noti sono: p(0) = p(1) = 1, p(2) = 2, p(3) = 3, p(4) = 5, p(5) = 7, p(6) = 11, p(8) = 22, p(12) = 77 e p(13) = 101 (Omar E. Pole, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org); se ve ne sono altri, il loro indice è maggiore di 10400 (Lior Manor, 2007).

 

Gli unici numeri di Fibonacci palindromi noti sono: F0 = 0, F1 = F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5, F6 = 8 e F10 = 55 (D.S. McNeil, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org); se ve ne sono altri, il loro indice è maggiore di 108.

 

Gli unici numeri di Lucas palindromi noti sono: L0 = 0, L1 = 1, L2 = 3, L3 = 4, L4 = 7, L5 = 11 e L25 = 167761 (M. Harminc, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org); se ve ne sono altri, il loro indice è maggiore di 200000 (Lior Manor, 2007).

 

I primi numeri fortunati palindromi sono: 1, 3, 7, 9, 33, 99, 111, 141, 151, 171, 303, 393, 535, 717, 727, 777, 787, 979.

Qui trovate i numeri fortunati palindromi inferiori a 107.

 

I primi numeri fortunati di Fibonacci palindromi sono: 1, 2, 4, 5, 7, 11, 77, 88, 101, 121, 131, 151, 181, 202, 212, 262, 353, 424, 464, 505, 515, 535, 545, 676, 707, 757, 787, 868, 919, 929, 949, 979.

Qui trovate i numeri fortunati di Fibonacci palindromi inferiori a 107.

 

Gli unici numeri altamente composti palindromi noti sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 252, 343, 525, 686, 48384 e 65856 (David Wasserman, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org); se ce ne sono altri, sono maggiori di 10100.

 

I minimi numeri abbondanti palindromi sono: 66, 88, 222, 252, 272, 282, 414, 444, 464, 474, 606, 616, 636, 666, 696, 828, 858, 868, 888, 2002, 2112, 2442, 2552, 2772, 2992, 4004, 4224, 4554, 4664, 4884, 5775, 6006, 6336, 6666, 6776, 6996, 8008, 8118, 8228, 8448, 8778, 8888, 20202, 20502, 20802 (Shyam Sunder Gupta, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

I minimi numeri ammirevoli palindromi sono: 66, 88, 222, 282, 464, 474, 606, 868, 2002, 20802, 24042, 24342, 24942, 29092, 41214, 44144, 45354, 46564, 47274, 60906, 64146, 66966, 67676, 80108, 81318, 83238, 85458, 85758, 87378, 89898, 2002002, 2008002, 2024202, 2027202, 2032302 (Jason Earls, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Gli unici numeri palindromi noti che abbiano tutti i fattori primi inferiori a 11 sono: 1, 2, 3, 4 = 22, 5, 6 = 2 • 3, 7, 8 = 23, 9 = 32, 252 = 22 • 32 • 7, 343 = 73, 525 = 3 • 52 • 7, 686 = 2 • 73, 48384 = 28 • 33 • 7 e 65856 = 26 • 3 • 73 (Amarnath Murthy e Meenakshi Srikanth, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org); se ve ne sono altri, sono maggiori di 10100.

 

I semiprimi palindromi inferiori a 1000 sono: 4, 6, 9, 22, 33, 55, 77, 111, 121, 141, 161, 202, 262, 303, 323, 393, 454, 505, 515, 535, 545, 565, 626, 707, 717, 737, 767, 818, 838, 878, 898, 939, 949, 959, 979, 989.

Qui trovate i semiprimi palindromi inferiori a 109.

 

Gli unici numeri palindromi noti che siano il prodotto di due primi consecutivi sono: 6 = 2 • 3, 77 = 7 • 11, 323 = 17 • 19, 36863 = 191 • 193, 1115111 = 1051 • 1061, 3740615160473 = 1934071 • 1934063; se ne esistono altri sono maggiori di 2 · 1017 (P. De Geest).

Vi sono anche alcuni numeri palindromi che sono il prodotto più di due primi consecutivi; quelli noti sono: 1001 = 7 • 11 • 13, 5005 = 5 • 7 • 11 • 13, 323323 = 7 • 11 • 13 • 17 • 19; se ve ne sono altri, sono maggiori di 920313029 (Donovan Johnson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).
 

numeri brillanti palindromi inferiori a 10000 sono: 4, 6, 9, 121, 323, 737, 767, 949, 979, 989.

Qui trovate i numeri brillanti palindromi inferiori a 109.

 

Esistono interi che hanno tutti i divisori palindromi, fra questi ovviamente ci sono i primi palindromi, ma anche altri interi, come 242, i cui divisori (1, 2, 11, 22, 121, 242) sono tutti palindromi. Quelli inferiori a 10000 sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 121, 131, 151, 181, 191, 202, 242, 262, 303, 313, 353, 363, 373, 383, 393, 404, 484, 505, 606, 626, 707, 727, 757, 787, 797, 808, 909, 919, 929, 939, 1111, 1331, 1441, 1661, 1991, 2222, 2662, 2882, 3333, 3443, 3883, 3993, 4444, 5555, 6666, 6886, 7777, 7997, 8888 e 9999.

Qui trovate i numeri inferiori a 109 che hanno tutti di divisori palindromi.

 

Il numero palindromo 334826628433 è il prodotto di 5 fattori primi palindromi: 11, 101, 353, 919 e 929.

 

I minimi numeri di Ulam palindromi sono: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 77, 99, 131, 282, 363, 414, 434, 585, 646, 949, 2112, 2332, 2552, 2662, 5335, 5665, 8008, 8338, 8668, 10501, 13531, 13931, 15251, 16961, 17071, 18381, 18581, 18681, 22122, 22322, 23632, 23932, 25452, 26962, 28582, 28682 (Shyam Sunder Gupta, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

I minimi numeri intoccabili palindromi sono: 2, 5, 88, 262, 292, 474, 626, 818, 848, 898, 2992, 4224, 4884, 6006, 6776, 6996, 8008, 8228, 8558, 8778, 8998 (Nahoiro Nomoto, gli ultimi 20 si devono a Donovan Johnson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

I primi numeri palindromi n tali che φ(n) sia palindromo sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 535, 767, 20502, 50805, 53035, 58085, 58585, 59395, 82428, 88188, 3269623, 5808085, 5846485, 8110118, 8666668, 8818188, 8872788, 8875788, 473040374, 515050515, 530303035, 535353535, 580303085, 580858085, 581585185, 585797585, 593939395, 615272516, 702696207, 881242188, 887848788, 35357875353, 46645954664, 53080308035, 53585358535, 55484848455, 58030303085, 69251215296, 88154545188, 88181518188, 88184248188, 88187278188, 88751215788, 1028036308201, 2523930393252, 4537549457354, 5308035308035, 5353085803535, 5353535353535, 5803035303085, 5803535353085, 5808035308085, 5808580858085, 5853035303585, 5858585858585, 8242121212428, 8242124212428, 8242154512428, 8245124215428, 8245451545428, 8245484845428, 8245754575428, 8245787875428, 8248127218428, 8248757578428, 8790509050978, 8812127212188, 8812151512188, 8812484842188, 8815187815188, 8815487845188, 8815724275188, 8815757575188, 8818157518188, 8818424248188, 8818727278188, 8818784878188, 8818787878188, 8872157512788, 8872427242788, 8872451542788, 8872481842788, 8872721272788, 8875127215788, 8875181815788, 8878187818788, 8878457548788, 8878757578788, 111371767173111, 275326727623572, 530353080353035 (Joseph L. Pe, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

I minimi numeri n tali che σ(n) e φ(n) siano palindromi sono: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 2881, 15456, 20930, 26461, 26772, 43262, 135536, 271171, 2118161, 2362081, 2545951, 2779321, 4236322, 6354483, 12936656, 28666681, 221782512, 253676851, 259202401, 259828451, 276025121, 276949721, 437593059, 472911836 (Giovanni Resta, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

I minimi numeri n tali che pn e π(n) siano palindromi sono: 1, 2, 3, 4, 5, 26, 32, 36, 138, 3691, 6987, 7193, 86969, 117766, 127150, 142583, 515786, 531448, 539596, 615980, 646060, 17262354, 39816443, 47548105, 48803361, 49426747, 528977302, 538348374, 1475057753, 1559827952, 2994135736, 60040412496, 64516992534 (Tanya Kovanova, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

I minimi numeri felici palindromi sono: 1, 7, 44, 262, 313, 383, 404, 464, 565, 656, 818, 888, 989, 1221, 1771, 1881, 2112, 3553, 4004, 4554, 4774, 5335, 5445, 5555, 7117, 7447, 7887, 8118, 8778, 11311, 11811, 12021, 12321, 12921, 14641, 15451, 15951, 17071, 17371, 18081, 18381, 20602, 21012, 21312, 21912, 22422, 22922, 24242, 24342, 25652, 25952, 26762, 29792, 30103, 30803, 33833, 34643, 35053, 36163, 36263, 36763, 40004, 40604, 41614, 42224, 42324, 43634, 44244, 44644, 45054, 45254, 45354, 46564, 47074, 47374, 48484, 49394, 49594, 49694, 50605, 51415, 51915, 52625, 52925, 53035, 54045, 54245, 54345, 55055, 55355, 56965, 58585, 59995, 60506, 62726, 63136, 63236, 63736, 64546, 65956, 66766, 66866, 67776, 68686, 71017, 71317, 74047, 74347, 76767, 78087, 78287, 78687, 80108, 80808, 81018, 81318, 84448, 85558, 86668, 87078, 87278, 87678, 88888, 89198, 89698, 90809, 92729, 94349, 94549, 94649, 95959, 98189, 98689, 102201, 107701, 108801, 120021, 123321, 126621, 132231, 135531, 153351, 162261, 169961, 170071, 179971, 180081, 196691, 197791, 199991, 201102, 210012, 213312, 216612, 231132, 233332, 239932, 256652, 261162, 265562, 268862, 286682, 293392, 305503, 312213, 315513, 321123, 323323, 329923, 332233, 334433, 335533, 343343, 344443, 345543, 350053, 351153, 353353, 354453, 359953, 367763, 376673, 392293, 395593, 400004, 405504, 407704, 433334, 434434, 435534, 443344, 448844, 449944, 450054, 453354, 466664, 470074, 484484, 494494, 499994, 503305, 504405, 505505, 513315, 526625, 530035, 531135, 533335, 534435, 539935, 540045, 543345, 550055, 559955, 562265, 579975, 593395, 595595, 597795, 612216, 619916, 621126, 625526, 628826, 637736, 646646, 652256, 664466, 673376, 682286, 689986, 691196, 698896, 701107, 704407, 708807, 710017, 719917, 736637, 740047, 759957, 763367, 780087, 791197, 795597, 801108, 807708, 810018, 826628, 844448, 862268, 869968, 870078, 896698, 916619, 917719, 919919, 923329, 932239, 935539, 944449, 949949, 953359, 955559, 957759, 961169, 968869, 971179, 975579, 986689, 991199, 994499 (Reinhard Zumkeller, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

I minimi numeri economici palindromi sono: 343, 1331, 10201, 14641, 31213, 94249, 1030301, 1332331, 1367631, 1478741, 2060602, 2513152, 2551552, 2570752, 2939392, 2977792, 3090903, 3498943, 3637363, 3735373, 3850583, 5221225, 5265625, 5734375, 6948496, 11288211, 11333311, 12100121, 12499421, 13577531, 14655641, 22666622, 27700772, 29399392, 31244213, 33999933, 38988983, 58344385, 71111117, 100020001, 100585001, 101000101, 104060401, 104555401, 106878601 (Carlos B. Rivera, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

I numeri di Smith palindromi inferiori al milione sono: 4, 22, 121, 202, 454, 535, 636, 666, 1111, 1881, 3663, 7227, 7447, 9229, 10201, 17271, 22522, 24142, 28182, 33633, 38283, 45054, 45454, 46664, 47074, 50305, 51115, 51315, 54645, 55055, 55955, 72627, 81418, 82628, 83038, 83938, 90409, 95359, 96169, 164461, 173371, 239932, 256652, 262262, 294492, 362263, 373373, 445544, 454454, 505505, 515515, 535535, 545545, 635536, 704407, 717717, 832238, 841148, 864468, 951159, 956659, 974479, 983389 (Donovan Johnson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate i numeri di Smith palindromi inferiori a 109 (Donovan Johnson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Vi sono infiniti numeri super-d palindromi; la tabella seguente riporta i minimi per d da 2 a 9; per gli altri noti v. numeri super-d.

d

Numeri super-d palindromi

2

131

3

4554

4

83338

5

3975793

6

2023202

7

7990410000000000000000140997

8

3245810000000000000185423

9

331645710000000000000000000000000000000000000000000000000000017546133

 

Per d uguale a 7, 8 e 9 quelli riportati sono i minimi noti, ma è estremamente probabile che ne esistano di minori.

 

L’unica terna pitagorica primitiva palindroma è quella formata da 3, 4 e 5; le altre note, come 303, 404 e 505, si ottengono moltiplicando questa per un numero palindromo contenente solo 0 e 1.

 

Esistono probabilmente infinite terne pitagoriche tali che il triangolo abbia area palindroma, ossia sia un numero pitagorico palindromo. La tabella seguente riporta le prime 25 (Zak Seidov, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Lati

Massimo comun divisore dei lati

Area

3, 4, 5

1

6

377, 336, 505

1

63336

6083, 156, 6085

1

474474

693, 1924, 2045

1

666666

2688, 3016, 4040

8

4053504

408, 20806, 20810

2

4244424

1443, 6076, 6245

1

4383834

8008, 10506, 13210

2

42066024

15392, 5544, 16360

8

42666624

24843, 3476, 25085

1

43177134

12432, 98176, 98960

16

610262016

155448, 82214, 175850

2

6390000936

23168, 4193376, 4193440

32

48576067584

81073, 11371536, 11371825

1

460962269064

304928, 4292904, 4303720

8

654513315456

3420732, 2849024, 4451780

4

4872873782784

2724403, 44392404, 44475925

1

60471399317406

5390853, 22441804, 23080205

1

60490233209406

17453637, 73780516, 75816845

1

643869171968346

1454034783, 9227944, 1454064065

1

6708875775788076

53643247, 1666695504, 1667558545

1

44703479297430744

1019664547, 1194231396, 1570319845

1

608857707707758806

1804499368, 5363316426, 5658743770

4

4839050550550509384

58234476697, 1529123904, 58254549145

1

44523865177156832544

20002545173, 68357882964, 71224307485

1

683665820959028566386

 

Sembra che ogni intero positivo possa essere espresso come somma di 3 numeri palindromi; se ci sono eccezioni, sono maggiori di 1010 (M. Fiorentini, 2017); per la maggioranza dei numeri ne bastano 2. I numeri inferiori a 1000 non rappresentabili come somma di 2 numeri palindromi sono: 21, 32, 43, 54, 65, 76, 87, 98, 201.

Qui trovate i numeri inferiori a 105 che richiedono 3 addendi (David W. Wilson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Vi sono probabilmente infiniti interi che non possono essere espressi come differenza di due numeri palindromi; quelli inferiori a 2000 sono: 1020, 1029, 1031, 1038, 1041, 1047, 1051, 1061, 1065, 1071, 1074, 1081, 1091, 1101, 1130, 1131, 1139, 1141, 1148, 1151, 1157, 1161, 1171, 1175, 1181, 1191, 1201, 1231, 1240, 1241, 1249, 1251, 1258, 1261, 1267, 1271, 1281, 1291, 1301, 1314, 1341, 1350, 1351, 1359, 1361, 1368, 1371, 1377, 1381, 1391, 1401, 1415, 1424, 1431, 1451, 1460, 1461, 1469, 1471, 1478, 1481, 1491, 1501, 1516, 1525, 1531, 1534, 1541, 1561, 1570, 1571, 1579, 1581, 1591, 1601, 1626, 1631, 1635, 1641, 1644, 1651, 1671, 1680, 1681, 1691, 1701, 1718, 1731, 1736, 1741, 1745, 1751, 1754, 1761, 1781, 1791, 1801, 1819, 1828, 1846, 1855, 1864, 1911, 1929, 1938, 1956, 1965, 1974.

Qui trovate i numeri inferiori a 105 che non possono essere espressi come differenza di due numeri palindromi (David W. Wilson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

La congettura dei numeri palindromi sfrutta un procedimento comune a molti semplici giochi del tipo “indovina il numero”: scelto un numero di partenza, si somma a questo quello ottenuto invertendo l’ordine delle cifre. La congettura è che, ripetendo l’operazione, si ottenga sempre un numero palindromo in un numero finito di passi.

Per esempio, iniziando con 78 otteniamo: 78 + 87 = 165, 165 + 561 = 716, 716 + 617 = 1328, 1328 + 8231 = 9559; iniziando con 167 si ottengono: 928, 1757, 9328, 17567, 94138, 177287, 960058, 1810127, 9020308, 17050517 e infine 88555588.

Per la maggior parte dei numeri bastano pochi passi: dei 900 interi di tre cifre, solo 75 richiedono più di 5 passi (v. anche numeri di Lycrel).

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Gardner, Martin;  The Colossal Book of Mathematics, New York, W.W. Norton & Company, 2001.
  • Guy, Richard K.;  Woodrow, Robert E.;  The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugene Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and Its History, Washington, Mathematical Association of America, 1994.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  "Linguistica aritmetica" in Le Scienze, Milano, n. 457, Settembre 2006, pag. 103.
  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Pickover, Clifford A.;  The Wonders of Numbers, New York, Oxford University Press, 2001.
  • Trigg, C.W.;  "Palindromic Cubes" in Mathematics Magazine, Vol. 34, Marzo 1961.

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