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Triangolo di Reuleaux (costante del)

Geometria 

Il triangolo di Reuleaux è la figura ottenuta intersecando tre cerchi con i centri ai vertici di un triangolo equilatero e raggi uguali al lato del triangolo, come mostra la figura.

Costruzione del triangolo di Reuleaux

 

Una curva di ampiezza costante è una curva chiusa convessa, tale che la distanza minima tra qualsiasi coppia di rette parallele che non la intersechino sia la stessa, indipendentemente dall’orientamento delle rette. Si dice “ampiezza” la distanza tra le rette.

Una curva del genere è in grado di ruotare tra due rette parallele restando sempre in contatto con esse.

 

Il teorema di Barbier assicura che le curve di ampiezza costante hanno tutte lo stesso perimetro, uguale a π per l’ampiezza. Non è invece uguale la superficie: tra le curve di ampiezza costante con la stessa ampiezza il cerchio è quella di massima superficie e il teorema di teorema di Blaschke – Lebesgue (Wilhelm Johann Eugen Blaschke, Graz, Austria, 13/9/1885 – Amburgo, Germania, 17/3/1962 e Henri Léon Lebesgue, Beauvais, Francia, 28/6/1875 – Parigi, 26/7/1941) afferma che il triangolo di Reuleaux quella di minima superficie. Per la dimostrazione si veda Ingenuity in Mathematics nella bibliografia.

 

Il cerchio può essere descritto dall’equazione x2 + y2 = 0; esistono altre curve di ampiezza costante descritte da un polinomio, in particolare la curva corrispondente all’equazione (x2 + y2)4 – 45(x2 + y2)3 – 41283(x2 + y2)2 + 7950960(x2 + y2) + 16(x2 – 3y2)3 + 48(x2 + y2)(x2 – 3y2)2 + x(x2 – 3y2)(16(x2 + y2)2 – 5544(x2 + y2) + 266382) + 7203 = 0.

 

Le applicazioni del triangolo di Reuleaux furono descritte per la prima volta dall’ingegnere tedesco Franz Reuleaux (Eschweiler, Germania, 30/9/1829 – Charlottenburg, Germania, 20/8/1905) nel 1876. Tra le più curiose, va ricordato un brevetto per un trapano che scava fori (quasi) quadrati, grazie a una punta a forma di triangolo di Reuleaux (scanalata per asportare i trucioli), che ruota su un asse eccentrico.

 

L’area del triangolo di Reuleaux è data dal quadrato del raggio moltiplicato per una costante, chiamata “costante del triangolo di Reuleaux”, che vale Costante del triangolo di Reuleaux.

 

Alle voci espansione di Lehmer e frazioni continue e frazioni continue centrate si trova un’ottima approssimazione della costante.

 

Il problema del calcolo dell’area è piuttosto semplice e si potrebbe pensare che il corrispondente problema in tre dimensioni, cioè il calcolo del volume comune a 4 sfere, aventi centri ai vertici di un tetraedro regolare, detto “tetraedro di Reuleaux”, non presenti particolari difficoltà. In tre dimensioni il problema è invece molto complesso e la sua soluzione richiede il ricorso al calcolo infinitesimale. Il volume, per sfere di raggio unitario, è Volume del tetraedro di Reuleaux.

 

Un solido di ampiezza costante è un solido convesso, tale che la distanza minima tra qualsiasi coppia di piani paralleli che non lo intersechino sia la stessa, indipendentemente dall’orientamento dei piani. Si dice “ampiezza” la distanza tra i piani.

Un solido del genere è in grado di ruotare tra due piani paralleli restando sempre in contatto con essi.

Il solido di ampiezza costante di massimo volume, a parità di ampiezza è la sfera.

Il tetraedro di Reuleaux non è un solido di ampiezza costante, mentre lo è il solido ottenuto facendo ruotare il triangolo di Reuleaux su uno dei suoi assi di simmetria. Questo solido è anche il solido di minimo volume tra i solidi di rotazione di ampiezza costante (Stefano Campi, Andrea Colesanti e Paolo Gronchi, 1996), ma non quello col minimo volume possibile. Tommy Bonnesen e Frenchel Werner ipotizzarono nel 1934 che il solido col minimo volume tra i solidi di ampiezza costante sia un tetraedro di Meissner, ottenuto sostituendo tre archi del tetraedro di Reuleaux con altre curve; i tre archi possono essere sostituiti in due modi (scegliendone tre con un vertice in comune o tre che delimitano una faccia), ottenendo due solidi diversi, ma di ugual volume. Che siano effettivamente i solidi col minimo volume tra quelli di ampiezza costante resta una questione aperta.

 

I solidi di ampiezza costante non hanno tutti la stessa superficie, ma le loro proiezioni sono curve di ampiezza costante, quindi hanno tutte lo stesso perimetro.

Hermann Minkowski (Aleksota, Impero Russo, 22/6/1864 – Göttingen, Germania, 12/1/1909) dimostrò che vale l’inverso: se tutte le proiezioni di un solido su un piano sono curve con lo stesso perimetro, il solido ha ampiezza costante.

Bibliografia

  • Gardner, Martin;  The Colossal Book of Mathematics, New York, W.W. Norton & Company, 2001.
  • Honsberger, Ross;  Ingenuity in Mathematics, The Mathematical Association of America, 1970.
  • Reuleaux Franz;  The Kinematics of Machinery, New York, Dover, 2012 -

    riedizione di Kinematics of Machinery: Outlines of a Theory of Machines, Londra, MacMillan and Co., 1876, tuttora considerato un testo fondamentale nella teoria delle macchine

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