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Limite di Laplace

Analisi  Geometria 

Un problema comune in meccanica celeste è la soluzione rispetto a E di un’equazione del tipo M = E – εsinE, che da un punto di vista strettamente geometrico si può interpretare come la ricerca, in un cerchio di raggio unitario, dell’angolo E, dati il doppio dell’area colorata nella figura e l’eccentricità ε.

 

Illustrazione dell'equazione M = E – εsin(E)

 

 

Una soluzione è data dallo sviluppo in serie Soluzione dell'equazione tramite serie di potenze, dove i coefficienti sono dati da Coefficienti dello sviluppo in serie.

La serie era effettivamente molto usata nel XIX secolo per la soluzione dell’equazione, perché per eccentricità piccole, come nel caso dei pianeti del sistema solare, converge molto rapidamente. Pierre-Simon, marchese di Laplace (Beaumont-en-Auge, Francia, 23/3/1749 – Parigi, 5/3/1827) scoprì però che la serie cessa di convergere se ε supera un valore, detto appunto “limite di Laplace”, pari a circa 0.6627434193, e ottenibile come soluzione dell’equazione Equazione per il calcolo del limite di Laplace.

Qui trovate le prime 100 cifre decimali del limite di Laplace.

 

L’equazione può anche essere risolta con metodi iterativi, di gran lunga preferibili per la loro convergenza più rapida: la sequenza E0 = 0, En + 1 = M + εsinEn, converge rapidamente e ancor meglio si comporta la sequenza E0 = 0, Ricorrenza per la soluzione dell'equazione, ottenibile col metodo di Newton.

 

Alle voci espansione di Lehmer e frazioni continue trovate un’ottima approssimazione della costante.

Bibliografia

  • Dörrie, Heinrich;  100 Great Problems of Elementary Mathematics, New York, Dover, 1965 -

    Una traduzione inglese della quinta edizione di Triumph der Mathematik: Hundert berühmte Probleme aus zwei Jahrtausenden mathematischer Kultur, Würzburg, Physica Verlag, 1958. La prima edizione, ormai introvabile, risale al 1932.

  • Meeus, Jean;  Astronomical Algorithms, Richmond, Willman-Bell Inc., II ediz., 1998.

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