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Coppie libere da quadrati

Teoria dei numeri 

Data una coppia di numeri naturali primi tra loro (a, b), si dice che è:

  • libera da quadrati, se a è un intero libero da quadrati, ossia non è multiplo di un quadrato di un intero maggiore di 1;

  • fortemente libera da quadrati, se sia a sia b sono interi liberi da quadrati;

  • debolmente libera da quadrati, se almeno uno tra a e b è libero da quadrati.

 

Definiamo inoltre:

  • C0(n) come il numero di coppie (a, b) di numeri naturali primi tra loro, con a e b non maggiori di n;

  • C1(n) come il numero di coppie (a, b) libere da quadrati, con a e b non maggiori di n;

  • C2(n) come il numero di coppie (a, b) fortemente libere da quadrati, con a e b non maggiori di n;

  • C3(n) come il numero di coppie (a, b) debolmente libere da quadrati, con a e b non maggiori di n;

 

Valgono le formule Formula per il numero di coppie di interi primi tra loro non superiori a n e C3(n) = 2C1(n) – C2(n).

 

Al crescere di n:

  • C0(n) tende a Formula per la crescita asintotica di C0(n);

  • C1(n) tende a K1n2;

  • C2(n) tende a K2n2;

  • C3(n) tende a K3n2.

 

Le costanti che compaiono nelle formule sono così definite:

  • Formula per K1;

  • Formula per K2;

  • K3 = 2K1 – K2 ≈ 0.5697515829.

 

Qui trovate le prime 98 cifre decimali di K1 (N.J.A. Sloane The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 98 cifre decimali di K2 (N.J.A. Sloane The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 97 cifre decimali di K3 (Eric W. Weisstein The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Alle voci espansione di Lehmer e frazioni continue trovate ottime approssimazioni di Prodotto infinito che coinvolge i numeri primi, Prodotto infinito che coinvolge i numeri primi, K1 e K2.

 

Da notare che la probabilità che il primo intero della coppia non sia multiplo di un quadrato e i due numeri non abbiano fattori comuni non tende al prodotto delle due probabilità, cioè 36 / π^4, perché i due eventi non sono indipendenti.

 

La probabilità che n interi presi a caso non abbiano un divisore comune tende a Limite cui tende la probabilità che n interi casuali non abbiano un divisore comune e la probabilità che tra essi non vi sia una coppia con un divisore comune tende, per n non superiore a 3, a Limite cui tende la probabilità che tra n interi casuali non vi sia una coppia con un divisore comune, che per n = 2 si riduce a Limite cui tende la probabilità che tra 2 interi casuali non vi sia una coppia con un divisore comune e per n = 3 si riduce a K2. Una formula analoga per n > 3 non è ancora stata trovata.

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