Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Anti-palindromi (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

I numeri anti-palindromi sono i numeri naturali rappresentati con un numero pari di cifre, tali che nessuna cifra della prima metà sia uguale alla corrispondente cifra della seconda metà, come per esempio 13 e 123341.

 

La definizione dipende dalla base, quindi un numero può essere anti-palindromo in alcune basi e non in altre. Nessun numero può essere anti-palindromo in tutte le basi, perché nessun numero può avere un numero pari di cifre in tutte le basi.

 

Quanti sono i numeri anti-palindromi di 2n cifre in base b? la prima cifra può essere una qualsiasi tra b – 1 (lo zero non è ammesso) e le successive n – 1 possono essere scelte a piacere tra le b cifre, mentre ciascuna delle restanti n deve essere diversa dalla cifra corrispondente della prima metà, quindi può essere scelta in b – 1 modi. Abbiamo quindi un totale di (b – 1)bn – 1(b – 1)n = bn – 1(b – 1)n + 1 numeri su (b – 1)b2n – 1 a 2n cifre.

 

Potrebbe sembrare che con una così ampia scelta per le cifre i numeri anti-palindromi debbano essere una notevole frazione dei numeri, ma non è così: il fattore (b – 1)n + 1 assottiglia progressivamente la frazione di numeri anti-palindromi, facendola tendere a zero. Per esempio, in base 10 abbiamo 5374122471 numeri anti palindromi con fino a dieci cifre, ossia poco più della metà, ma la frazione scende a meno del 4.7‰ tra i numeri fino a cento cifre e a circa 0.1203232993 • 10–22 tra quelli sino a mille cifre.

 

 

I numeri anti-palindromi non rappresentano una frazione maggiore di zero dei naturali in nessuna base, perché il rapporto tra numeri palindromi fino a n cifre e numeri di al massimo n cifre tende a Formula per la densità di anti-palindromi.

 

Un intero può essere simultaneamente palindromo e anti-palindromo, come 1221.

 

I primi anti-palindromi sono i primi che sono anche anti-palindromi.

In qualsiasi base b maggiore di 2 il minimo primo anti-palindromo è il minimo primo p maggiore di b + 1, che si scrive come 1 seguito da una cifra uguale a pb; il postulato di Bertrand assicura che ne esista sempre uno minore di 2b e che pertanto la prima cifra può essere 1. In particolare, il minimo in base 10 è 13.

In base 2 l'unico primo anti-palindromo è 102 = 2. Per dimostrarlo basta vedere che un primo del genere dovrebbe obbligatoriamente iniziare e terminare con la cifra 1, quindi avrebbe la forma 1y00x12, dove x e y sono gruppi di n cifre. Perché il numero sia anti-palindromo, x e y devono avere tutte le cifre differenti, ossia dall’uno si deve ottenere l’altro sostituendo 0 a ogni 1 e 1 a ogni zero, quindi sommandoli si ottiene un numero di n cifre uguali a 1. Questo equivale a dire che y = 2n – 1 – x, pertanto il numero ha la forma 22n + 3 + (2n – 1 – x)2n + 3 + 2x + 1 = 22n + 3 + 22n + 3 – 2n + 3x2n + 3 + 2x + 1 = 22n + 4 – 2n + 3 + 1 – 2x(2n + 2 – 1) = (2n + 2 – 1)2 – 2x(2n + 2 – 1) = (2n + 2 – 1)(2n + 2 – 1 – 2x), ed è un numero composto.

 

Una definizione alternativa potrebbe essere: numeri naturali rappresentati con un numero pari di cifre, tali che nessuna cifra della prima metà sia uguale alla cifra della seconda metà in posizione simmetrica rispetto al centro. Sarebbero quindi anti-palindromi 13 e 1212, ma non 1223.

In questo caso i numeri antri-palindromi non potrebbero essere anche palindromi.

Il numero di anti-palindromi resta uguale a quello della prima definizione, come pure il minimo primo anti-palindromo nelle varie basi. Di nuovo in questo caso vi è un solo primo anti-palindromi in base 2, ossia 102 = 2, perché ogni altro primo in base 2 inizia e termina con 1.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.