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Interi liberi da quadrati

Teoria dei numeri 

Si dicono “liberi da quadrati” gli interi non multipli di un quadrato maggiore di 1.

 

Il numero degli interi liberi da quadrati minori di n è Formule per il numero di interi liberi da quadrati minori di n.

 

Al crescere di n, la frazione di interi liberi da quadrati minori di n tende a Limite cui tende la frazione di interi liberi da quadrati minori di n.

Nel caso degli interi di Gauss il corrispondente limite è Limite cui tende la frazione di interi di Gauss liberi da quadrati minori di n, dove K è la costante di Catalan.

 

Al crescere di n, la frazione di interi minori di n liberi da quadrati e tali che anche l’intero successivo sia libero da quadrati tende a Limite cui tende la frazione di interi liberi da quadrati tali che anche l’intero successivo sia libero da quadrati minori di n, dove F è la costante di Feller – Thornier.

Alla voce frazioni continue si trova un’ottima approssimazione della costante.

 

Xiaodong Cao e Wenguang Zhai dimostrarono nel 1998 che per ogni c reale e tale che Limite superiore e inferiore per il valore di c, la successione Formula per la definizione della successione contiene una frazione di interi liberi da quadrati che tende a Limite cui tende la frazione di interi liberi da quadrati nella successione.

 

Se S è l’insieme degli interi liberi da quadrati, Somma dei reciproci degli interi liberi da quadrati elevati alla s, per s > 1.

 

Tutti i numeri di Carmichael sono liberi da quadrati.

 

I coefficienti binomiali Coefficiente binomiale C(2n – 1, n) sono liberi da quadrati solo per n uguale a 1, 2, 3, 4, 6, 9, 10, 12, 36 e per nessun altro valore fino a 264, con il solo caso 545259520 ancora da verificare.

I coefficienti binomiali centrali Coefficiente binomiale centrale C(2n, n) sono liberi da quadrati solo per n uguale a 1, 2 e 4 (congettura di Erdös, dimostrata vera da Olivier Ramaré e Andrew Granville nel 1996).

 

Tutti i numeri di Sylvester fino a 2.5 • 1015 sono liberi da quadrati (Vardi 1991).

 

Se definiamo H(n) come n diviso per il suo massimo divisore che sia un quadrato e Π(n) come il prodotto dei primi che dividono n, presi tutti con esponente 1 (quindi, p. es.: H(12) = 3 e Π(12) = 6), allora Limite cui tende la somma dei valori della funzione H divisa per n^2 e Limite cui tende la somma dei valori della funzione Π divisa per n^2.

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