Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

?x

Funzioni 

Il matematico tedesco Hermann Minkowski (22/6/1864 – 12/1/1909) definì nel 1904 una funzione, che trasforma numeri irrazionali quadratici non negativi in numeri razionali, per la quale propose il simbolo “?”.

La funzione è definita come segue: dato un numero reale x non negativo, lo si trasforma in frazione continua, ottenendo i termini a0, a1, a2, a3…; ?x è quindi definita come Formula per la definizione della funzione ?, dove la somma è finita se x è razionale. Per esempio, per (sqrt(3) – 1 ) / 2, la frazione continua è Rappresentazione tramite frazione continua di (sqrt(3) – 1 ) / 2; e sviluppando la formula otteniamo: Valore di ?((sqrt(3) – 1 ) / 2).

 

Un curioso modo alternativo di ricavare il valore è scrivere una sequenza di 0 e 1 alternati, con a1 zeri, seguiti da a2 uno, poi a3 zeri, a4 uno e così via.

Nel nostro esempio avremmo 001001…; ora inseriamo un punto decimale dopo il primo zero, sommiamo a0 e interpretiamo il tutto come numero in base 2: Valore di ?((sqrt(3) – 1 ) / 2).

 

La funzione ha proprietà interessanti:

  • ?x è continua, ma non assolutamente continua, e strettamente crescente;

  • ?x = 1 – ?(1 – x), per 0 ≤ x ≤ 1;

  • Formula per una proprietà della funzione ?, per 0 ≤ x ≤ 1;

  • ?xx è periodica con periodo 1;

  • per x razionale, ?x è un numero razionale con denominatore uguale a una potenza di 2 e in particolare Formula per una proprietà della funzione ?;

  • per x irrazionale quadratico, il valore è un numero razionale;

  • per x irrazionale non quadratico, il valore è un numero irrazionale;

  • se p / qp' / q' sono due numeri razionali, con |pq’ – pq| = 1, Formula per una proprietà della funzione ?;

  • il massimo della funzione ?xx per x tra 0 e 1 si ha per un valore di x compreso tra Limite inferiore per il massimo di ?(x) – x e Limite superiore per il massimo di ?(x) – x.

 

A dispetto della sua irregolarità, la funzione è derivabile. La derivata è zero se l'argomento è razionale, è 1 se tutti i termini dello sviluppo in frazione continua, escluso a0, non superano 4 (Anna A. Dushistova, Nikolai G. Moshchevitin, 2007).

 

Alcuni valori:

  • ?n = n, per n intero;

  • Valore di ?(1 / 3);

  • Valore di ?(1 / 2);

  • Valore di ?(φ – 1);

  • Valore di ?(2 / 3);

  • Valore di ?(sqrt(2) / 2);

  • Valore di ?(sqrt(3) / 2).

 

Una questione interessante circa la funzione sono i suoi punti fissi, cioè i valori tali che ?x = x. Si vede facilmente che 0, 1 e Un mezzo sono punti fissi e C. Bower nel 1999 si chiese se ve ne fossero altri, scoprendo che ve ne sono almeno due, simmetrici rispetto a Un mezzo, il minore dei quali, detto costante di Minkowski – Bower è circa 0.4203723394.

 

La funzione è anche detta “scala scivolosa del diavolo”, perché simile alla “scala del diavolo” di Cantor, ma più smussata.

 

La funzione di Cantor è definita come segue:

  • dato x (reale) tra 0 e 1, lo si scrive come numero frazionario in base 3;

  • se il numero contiene qualche uno, si eliminano tutte le cifre successive al primo uno;

  • si sostituiscono tutti i 2 con 1;

  • si interpreta il risultato come numero binario.

Per esempio, 1 / 5 e la trasformazione ci porta a valore della funzione di Cantor con argomento 1 / 51 / 4 e la trasformazione ci porta a valore della funzione di Cantor con argomento 1 / 4.

 

Tra le sue proprietà notevoli:

  • è uniformemente continua;

  • ha derivata nulla quasi ovunque (ha un’infinità di “gradini” orizzontali);

  • prodice come valore tutti i numeri reali tra 0 e 1.

 

Alla voce frazioni continue trovate ottime approssimazioni di alcuni valori della funzione ?.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.