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Komornik – Loreti (costante di)

Analisi  Vari 

In quanti modi si può rappresentare 1 come somma di potenze non ripetute, con esponente negativo di un numero reale q con 1 < q ≤ 2? In altri termini, quante soluzioni esistono dell’equazione Serie di potenze uguale a 1, dove i vari an sono 0 o 1?

 

Se q = 2 esiste un’unica soluzione, con tutti gli an uguali a 1 e viene spontaneo chiedersi se esistano altri valori di q con la stessa proprietà.

 

A prima vista non sembra possibile, e infatti se 1 < q < φ vi è un’infinità non numerabile di soluzioni, mentre per q = φ le soluzioni sono un’infinità numerabile.

 

V. Komornik e P. Loreti dimostrarono però nel 1998 che esiste un’infinità numerabile di valori di q > φ per i quali questa sorta di sviluppo in serie dell’unità è unica. Il minimo di tali valori è l’unica soluzione positiva dell’equazione Equazione che ha per soluzione la costante di Komornik – Loreti, detta costante di Komornik – Loreti ed è circa 1.7872316501; i corrispondenti coefficienti an sono i valori binari della successione di Thue – Morse (v. costante di Thue – Morse).

Qui trovate le prime 105 cifre decimali della costante (N.J.A. Sloane,The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Alla voce frazioni continue si trova un’ottima approssimazione della costante.

 

J.-P. Allouche e M. Cosnard dimostrarono nel 2000 che la costante è trascendente.

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