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Kolakoski (costante di)

Sequenze  Vari 

William George Kolakoski (17/9/1944 – 26/7/1997) era un artista, che durante gli studì si occupò anche di matematica, per diletto. La sua unica pubblicazione nel campo riguarda la sequenza che da lui prese il nome, nel 1965, ma che in realtà era stata discussa già da Rufus Oldenburger nel 1939.

 

La sequenza si ottiene concatenando blocchi alternati di 1 e 2, con lunghezze date dagli ultimi numeri aggiunti. Si inizia con 1; il blocco successivo deve essere formato da 2 e la cifra iniziale ci dice che è di lunghezza uno, quindi abbiamo 12. Dobbiamo ora aggiungere un blocco di 1 e l’ultima cifra aggiunta ci dice che dev’essere di lunghezza 2, quindi otteniamo 1211. Si devono ora aggiungere blocchi di 2 e 1 (in quest’ordine, per rispettare l’alternanza), entrambi di lunghezza 1, ottenendo 121121. Abbiamo aggiunto 2 e 1, quindi i prossimi blocchi saranno lunghi 2 e 1, ottenendo 121121221.

Qui trovate le prime 1000 cifre della sequenza (N.J.A. Sloane, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Un metodo alternativo per costruirla è iniziare con 1 e applicare ripetutamente le seguenti sostituzioni:

  • nelle posizioni pari, sostituire ogni 1 con 2 e ogni 2 con 22;

  • nelle posizioni dispari sostituire ogni 1 con 1 e ogni 2 con 11.

Quindi si inizia con 1, in posizione dispari, ottenendo 2 come secondo termine. Il 2 ha posizione dispari, quindi diviene 22. Il primo 2 ha posizione dispari, l’altro posizione pari, quindi sostituendo otteniamo 2211, poi 221121 eccetera. La sequenza differisce da quella definita in precedenza solo nella prima cifra.

La sequenza originariamente proposta da Kolakoski, a dire il vero, equivaleva all’ultima ottenuta, con un 1 davanti, ma le differenze si limitano alla prima cifra e la prima definizione, basata sulla sostituzione dei blocchi, è più semplice.

 

La sequenza può anche essere definita tramite la ricorrenza a0 = 1, a1 = 2, Ricorrenza per il calcolo della sequenza di Kolakoski, Ricorrenza per il calcolo della sequenza di Kolakoski.

 

Bertran Steinski trovò nel 2006 una formula per calcolare l’n-esimo termine an della sequenza: Formula per il calcolo della sequenza di Kolakoski.

 

Per i valori della sequenza vale Identità soddisfatta dai valori della sequenza di Kolakoski.

 

Altre proprietà della sequenza:

  • tutte le sottosequenze ripetute 2 volte di seguito hanno lunghezza 2, 4, 6, 18 o 54.

  • non contiene sottosequenze ripetute 3 volte di seguito.

 

Alcune proprietà della sequenza sono tuttora in attesa di dimostrazione:

  • osservando la sequenza si ha l’impressione che il numero di 1 sia alla lunga uguale a quello di 2; nella sequenza sembra infatti che le due cifre si alternino al comando del conteggio, con scarti dalla media sempre minori, ma il miglior risultato noto è la dimostrazione di Vašek Chvátal (1993) che la densità delle due cifre non si discosta da Un mezzo per più di Massimo scostamento da un mezzo della frequenza delle cifre;

  • Benoit Cloitre suppose che il numero di cifre del termine n-esimo cresca come Crescita asintotica ipotizzata del numero di cifre del termine n-esimo, con la costante c circa uguale a 1.3094;

  • Joe Perry suppose nel 2012 che suddividendo la sequenza in blocchi di 10 elementi, ogni blocco contenga 4, 5 o 6 cifre 1.

 

Se diminuiamo le cifre di una unità, otteniamo una sequenza di 0 e 1, che può essere interpretata come lo sviluppo in base 2 di un numero: 0.1100101101100…2, ossia circa 0.7945071928, detto “costante di Kolakoski”.

Nel 1998 Olivier Gerard calcolò la costante con 25000 cifre di precisione.

Qui trovate le prime 105 cifre decimali della costante (Eric W. Weisstein, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.

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