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Socievoli unitari (numeri)

Teoria dei numeri 

La definizione dei numeri socievoli unitari è uguale a quella dei numeri socievoli, considerando però la somma dei soli divisori unitari, cioè con σ*(n) al posto di σ(n).

Due o più numeri naturali si dicono quindi “socievoli unitari” se la somma dei divisori unitari di ognuno (escluso il numero stesso) è uguale al successivo e la somma dei divisori unitari dell’ultimo (sempre escludendo il numero stesso) è uguale al primo, formando un ciclo. Si dice “ordine” di un ciclo il numero di elementi che lo compongono.

 

I numeri socievoli unitari sono una generalizzazione dei numeri perfetti unitari, che formano cicli di ordine 1, e dei numeri amichevoli unitari, che formano cicli di ordine 2.

 

Il minimo esempio è dato dalla terna (30, 42, 54): σ*(30) – 30 = 42, σ*(42) – 42 = 54, σ*(54) – 54 = 30, l’unico ciclo noto di ordine 3.

 

Il massimo esempio noto è costituito dal ciclo di ordine 4 19037188318540239325327904090943340586974626260576302320070039350722291957760000, 19550801610631562679822779180959646671707073025554814476627577156149843722240000, 20078271918233724371960110768205911338466169095703223061651892978748038184960000, 19550801610631560614122882842721260477439610611720962277363507413896061911040000 (Derek Ball, 2000).

 

Si conoscono cicli del genere di ordine da 1 a 7, 10, 12, 14, 21, 25, 26, 39 e 65.

La tabella seguente riporta il numero di cicli noti e il minimo numero noto per i vari ordini.

Ordine

Numero cicli noti

Minimo numero

1

5

6

2

Circa 5000000

114

3

1

30

4

190

263820

5

1

1482

6

7

698130

7

2

46848348980160

10

2

5251502340

12

2

3344596854

14

3

2418

21

1

7154199780

25

2

9979770660

26

1

2233554

39

1

2212026

65

1

473298

 

I cicli di ordine 4 con elementi inferiori a 109 sono:

  • 263820, 263940, 280380, 280500 (Lal, Tiller e Summers, 1972);

  • 395730, 395910, 420570, 420750 (Lal, Tiller e Summers, 1972);

  • 172459210, 218725430, 272130250, 218628662 (Pedersen, 1997);

  • 209524210, 246667790, 231439570, 230143790 (David Moews, 1972);

  • 384121920, 384296640, 408233280, 408408000 (Pedersen, 1997).

Qui trovate i 189 cicli di ordine 4 noti.

 

L’unico ciclo noto di ordine 5 è 1482, 1878, 1890, 2142, 2178 (Lal, Tiller e Summers, 1972).

 

I cicli di ordine 6 noti sono:

  • 698130, 698310, 698490, 712710, 712890, 713070 (Lal, Tiller e Summers, 1972);

  • 341354790, 391662810, 519891750, 411838938, 348612390, 406468314 (Pedersen, 1997);

  • 530946330, 743324934, 919121658, 1343332998, 1009954170, 838902150 (Pedersen, 1997);

  • 582129630, 596171970, 621549630, 717175170, 740700270, 740700450 (Pedersen, 1997);

  • 14018303958, 14019500442, 14671570758, 18868701882, 18870049158, 20877963642 (David Moews, 2001);

  • 41986639170, 48174525630, 63946685250, 50656189374, 42879323970, 49995602622 (Pedersen, 1997);

  • 140183039580, 140195004420, 146715707580, 188687018820, 188700491580, 208779636420 (Derek Ball, 2001).

 

I cicli di ordine 7 noti sono:

  • 46848348980160, 48671407686720, 50195567647680, 50363270368320, 50363270543040, 53774769572160, 57483379611840 (Terr, 2005);

  • 78489188786156236269572751360000, 81543520520408634067737477120000, 84097080710261911352445665280000, 84378047932945455007069470720000, 84378048225669347379986595840000, 90093634733398480537776783360000, 96306997634659974520999280640000 (Terr, 2005).

 

I cicli di ordine 10 noti sono:

  • 525150234, 527787366, 528544218, 553128198, 735821562, 982674438, 998151162, 998151174, 612951066, 675192294 (Pedersen, 1997);

  • 5251502340, 5277873660, 5285442180, 5531281980, 7358215620, 9826744380, 9981511620, 9981511740, 6129510660, 6751922940 (Pedersen, 1997).

 

I cicli di ordine 12 noti sono:

  • 3344596854, 3578531466, 3744975318, 5085554730, 7166203734, 7553566554, 7996553382, 8026792458, 8026792470, 7210538730, 6249134070, 6020274186 (David Moews, 2001);

  • 6978895830, 7246000170, 8008740630, 11516795370, 11598237270, 11891877930, 11891878110, 10109903490, 8775843390, 8964495810, 8964495990, 805257153 (David Moews, 2001).

 

I cicli di ordine 14 noti sono:

  • 2418, 2958, 3522, 3534, 4146, 4158, 3906, 3774, 4434, 4446, 3954, 3966, 3978, 3582 (Lal, Tiller e Summers, 1972);

  • 24180, 29580, 35220, 35340, 41460, 41580, 39060, 37740, 44340, 44460, 39540, 39660, 39780, 35820 (Lal, Tiller e Summers, 1972);

  • 35238, 45402, 65190, 98106, 101478, 117258, 117270, 117450, 74430, 74610, 74790, 65322, 49878, 38682 (Lal, Tiller e Summers, 1972).

 

L’unico ciclo noto di ordine 21 è 7154199780, 10456151580, 10631928420, 8020583580, 8128260420, 11467259580, 14875524420, 15212549820, 17552943780, 18409189980, 18409190100, 19106688300, 18742755540, 19302248940, 22271827380, 26515211340, 26515211460, 26515211580, 22785866820, 15212482380, 10731299220 (David Moews, 2001).

 

I cicli di ordine 25 noti sono:

  • 763620, 1050780, 1086180, 1141980, 1469220, 1537500, 1088340, 1451820, 1451940, 1867740, 2402340, 2402460, 1248180, 1291980, 1341780, 1768620, 2274900, 1668780, 1172820, 1387500, 988260, 1457820, 1566180, 1717020, 1144980 (Lal, Tiller e Summers, 1972);

  • 9979770660, 10014917340, 10045669380, 10055151420, 10138625700, 9997754460, 10975327140, 11089084380, 15257731620, 15257731740, 15498026340, 15507736860, 23203472100, 18430806300, 14379369540, 15629752380, 19393236420, 19397920380, 21680030820, 27874326300, 20441173140, 13627449060, 14362021020, 14606456100, 13597095900 (David Moews, 2001).

 

L’unico ciclo noto di ordine 26 è 2233554, 2259246, 2670162, 3412398, 4104402, 4138158, 4138170, 5849670, 8189610, 16195926, 17050794, 17050806, 12284874, 11115126, 9397674, 7790742, 4039890, 5709486, 5709498, 5709510, 5709690, 7042950, 4623354, 3833046, 3726954, 4020246 (Pedersen, 1997).

 

L’unico ciclo noto di ordine 39 è 2212026, 2229798, 2229810, 3835470, 5369730, 7704318, 7704330, 11066934, 11156154, 12330726, 12330738, 9591246, 8829234, 6361806, 7863090, 11008398, 12130674, 12130686, 8227314, 6057486, 4038354, 2739846, 2739858, 3238158, 5074674, 6482190, 11806962, 12207918, 13683282, 13683294, 9122226, 9738894, 12759666, 12759678, 9626322, 10280238, 10280250, 5849766, 3317994 (Lal, Tiller e Summers, 1972).

 

L’unico ciclo noto di ordine 65 è 473298, 632622, 632634, 646854, 746538, 958998, 959010, 1520670, 2162562, 2195358, 3057762, 3074910, 4304946, 4304958, 5535042, 6630078, 9691458, 12841662, 12947010, 18125886, 23161794, 23161806, 15649074, 14158926, 10827954, 7604046, 5132034, 3421386, 2215350, 1289658, 1289670, 1805610, 2569110, 3811530, 5336214, 6474186, 4608894, 5067906, 5067918, 3378642, 3522990, 5131986, 5131998, 2779362, 1852938, 1254582, 976458, 1295286, 1339914, 1339926, 1778922, 976278, 976290, 1702110, 2383026, 2759502, 2775858, 2775870, 2537730, 2462958, 1664802, 1109898, 755262, 503538, 709902 (Lal, Tiller e Summers, 1972).

 

Le ricerche hanno sicuramente individuato tutti i cicli nei quali il numero precedente il massimo del ciclo è inferiore a 2 • 1011.

 

Un ciclo di numeri socievoli, nessuno dei quali multiplo di un quadrato, costituisce un ciclo di numeri socievoli unitari, che sono anche socievoli bi-unitari e socievoli infinito-unitari.

Oltre a 6, che è perfetto e costituisce un ciclo di ordine 1 e a vari numeri amichevoli (I), che costituiscono cicli di ordine 2, sono noti solo 12 cicli di numeri socievoli, nei quali nessuno dei numeri sia multiplo di un quadrato, tutti di ordine 4:

  • 209524210, 246667790, 231439570, 230143790 (David, 1972);

  • 1799281330, 2267877710, 2397470866, 1954241390 (Akin Flammenkamp, 1990);

  • 111375706442, 117225146038, 122866422602, 117060156598 (David Moews e P.C. Moews, 1995);

  • 39436853599990, 49492156514570, 62074019438326, 49491465978122 (Blankenagel e Borho, 2000);

  • 65747483238255, 78580517888145, 93888654991215, 78572822896785 (Pedersen, 2000);

  • 6902169681516648370, 7248370899171863630, 7611922936520347570, 7248372603568420430 (Yuanhua, 2001);

  • 34974511550868795230, 35664642857273233570, 36368366703512494430, 35664674103425771170 (Blankenagel e Borho, 2000);

  • 12688783403597870254995855, 13665148353613026725381745, 14716639689111323966048655, 13665148500026413688223345 (Blankenagel e Borho, 2002);

  • 268738565378449889248099035, 269196248763412703721014565, 269654684810021379826531035, 269196275496621751674422565 (Pedersen, 1997);

  • 749097220032020898810221835, 750863521119100022830820085, 752633936357953029955151115, 750863521238114207718054645 (Pedersen, 1997);

  • 3698442471517989059294076889515, 3732229168070884827731714086485, 3766324515973088048355536857515, 3732229171125636741273473062485 (Blankenagel e Borho, 2003, 2003);

  • 90769015419218113854283914785667327395531483090, 93217915542980062046845416395623224263865636910, 95732885699433900744046540353043304534214567890, 93217915542980052197620698709984949250193496110 (Blankenagel e Borho, 2000);

 

Se si costruiscono sequenze aliquot unitarie, analoghe alle sequenze aliquot (v. numeri socievoli) sommando ripetutamente i divisori unitari, si ritiene che ogni sequenza termini con 1 o con un ciclo.

Questa congettura, analoga alla congettura di Catalan – Dickson è stata verificata nel 2001 sino a 400000000 da Jack Brennen senza trovare eccezioni; la sequenza più lunga trovata è quella che inizia con 151244526 e termina con 1 dopo 16657 passi.

 

A parte 1 e 2, che sono perfetti unitari aumentati, non si conoscono casi di cicli di numeri socievoli unitari ridotti o aumentati di lunghezza diversa da 2, nonostante siano stati esaminati tutti i cicli nei quali il numero precedente il massimo del ciclo è inferiore a 2 • 1011.

Vale a dire che gli unici altri cicli noti di numeri naturali nei quali la somma dei divisori unitari di ognuno (escluso il numero stesso) più o meno uno è uguale al successivo e la somma dei divisori unitari dell’ultimo (sempre escludendo il numero stesso) più o meno uno è uguale al primo, formando un ciclo, sono di ordine 2.

Bibliografia

  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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