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Sinuosi chiusi (numeri)

Matematica combinatoria 

L’n-esimo numero sinuoso chiuso Sn è il numero di modi topologicamente distinti nei quali una curva chiusa e una curva aperta infinita, che non intersechino se stesse, possono intersecarsi; per semplicità una delle due curve è solitamente rappresentata con una retta. Può essere interpretato come il numero di modi di tracciare un circuito stradale che attraversi n volte un fiume.

Quindi Sn è maggiore di zero per n pari e nullo per n dispari.

 

La figura seguente mostra i modi topologicamente distinti di incrociare le curve, per n fino a 6.

Raffigurazione dei modi di incrociare le curve per n fino a 4

Raffigurazione dei modi di incrociare le curve per n uguale a 6

 

Le riflessioni rispetto a un asse perpendicolare alla retta e rispetto alla retta stessa si considerano distinte.

 

Il numero sinuoso chiuso Sn è anche il numero di modi di piegare su se stesso un anello di n francobolli (col primo unito all’ultimo), riducendolo a un pacchetto di francobolli sovrapposti.

 

I numeri sinuosi chiusi sono legati ai numeri sinuosi dalla relazione S2n = s2n – 1. Infatti, per ognuno dei modi che ha una linea aperta di attraversare un numero dispari di volte la retta, si possono congiungere gli estremi della linea, indifferentemente a destra o a sinistra del disegno, creando un percorso chiuso con un incrocio in più.

 

Alcune proprietà dei numeri sinuosi chiusi:

Spk ≡ 2 mod 2p, se p è primo;

Sm + nSm + Sn;

SnSnS2n, dove Sn è l’n-esimo numero semisinuoso;

Diseguaglianza soddisfatta dai numeri sinuosi chiusi, dove Cn è l’n-esimo numero di Catalan;

Sn è pari per n > 2.

 

I numeri sinuosi chiusi crescono (per n pari) come Formula per la crescita asintotica dei numeri sinuosi chiusi, dove C è una costante e R è nota come “costante connettiva”. Si congettura che l’esponente sia Valore supposto per l'esponente (P. Di Francesco, O. Golinelli e E. Guitter, 2000).

Alla voce frazioni continue si trova un’ottima approssimazione di α.

 

La tabella seguente mostra i numeri sinuosi chiusi Sn e i numeri sinuosi chiusi Sn, non contando le riflessioni rispetto all’asse verticale o a quello orizzontale, per n pari fino a 44 (Iwan Jensen, J.A. Reeds, e N.J.A. Sloane, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

Sn

Sn

0

1

1

2

1

1

4

2

1

6

8

3

8

42

12

10

262

70

12

1828

464

14

13820

3482

16

110954

27779

18

933458

233556

20

8152860

 

22

73424650

 

24

678390116

 

26

6405031050

 

28

61606881612

 

30

602188541928

 

32

5969806669034

 

34

59923200729046

 

36

608188709574124

 

38

6234277838531806

 

40

64477712119584604

 

42

672265814872772972

 

44

7060941974458061392

 

46

74661728661167809752

 

48

794337831754564188184

 

 

A ogni configurazione di incroci tra le due linee si può far corrispondere una permutazione, che potremmo chiamare “sinuosa”, nel modo seguente:

  • si numerano progressivamente le intersezioni lungo la linea, partendo da sinistra;

  • si elencano le intersezioni incontrate percorrendo la curva in un senso, a partire dalla prima intersezione;

  • si interpreta l’elenco ottenuto come una permutazione in notazione ciclica.

 

Per esempio, la configurazione della figura corrisponde alla permutazione ( 1, 6, 5, 2, 3, 4 ).

Configurazione corrispondente alla permutazione ( 1, 6, 5, 2, 3, 4 )

 

La notazione ciclica consiste nell’interpretare la sequenza di numeri come ( n, p(n), p(p(n))... ), dove p(n) è il numero che la permutazione manda nella posizione n. Così la permutazione dell’esempio diventa ( 6, 3, 4, 1, 2, 5 ) nella consueta notazione lineare.

Una proprietà delle permutazioni sinuose è che applicandole due volte, si ottiene una permutazione composta da due cicli, uno contenente gli elementi di posto pari e uno contenente quelli di posto dispari. Nel caso dell’esempio, applicando la permutazione una seconda volta otteniamo ( 5, 4, 1, 6, 3, 2 ), composta dai due cicli ( 4, 6, 2 ) e ( 5, 1, 3 ) dei numeri pari e dispari.

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