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Knödel (numeri di)

Teoria dei numeri 

Sono una generalizzazione dei numeri di Carmichael e prendono il nome dal matematico che per primo li studiò nel 1953.

 

Un numero composto n è un numero di Knödel se, per qualche k < n, bnk ≡ 1 mod n per ogni b primo rispetto a n e inferiore a n.

Il caso k = 1 corrisponde ai numeri di Carmichael.

 

Ogni intero positivo è un numero di Knödel per almeno un valore di k, perché se k = n – φ(n), bnk = bφ(n) ≡ 1 mod n, per ogni b primo rispetto a n.

 

Nel 1962 Makovski dimostrò che sono infiniti per ogni valore di k.

 

La tabella seguente riporta i numeri di Knödel fino a 1000 per k da 1 a 20 (M. Fiorentini, 2013).

k

Numeri di Knödel

1

561

2

4, 6, 8, 10, 12, 14, 22, 24, 26, 30, 34, 38, 46, 56, 58, 62, 74, 82, 86, 94, 106, 118, 122, 132, 134, 142, 146, 158, 166, 178, 182, 194, 202, 206, 214, 218, 226, 254, 262, 274, 278, 298, 302, 314, 326, 334, 346, 358, 362, 382, 386, 394, 398, 422, 446, 454, 458, 466, 478, 482, 502, 514, 526, 538, 542, 552, 554, 562, 566, 586, 614, 622, 626, 634, 662, 674, 694, 698, 706, 718, 734, 746, 758, 766, 778, 794, 802, 818, 838, 842, 862, 866, 870, 878, 886, 898, 914, 922, 926, 934, 958, 974, 982, 998

3

9, 15, 21, 33, 39, 51, 57, 63, 69, 87, 93, 111, 123, 129, 141, 159, 177, 183, 195, 201, 213, 219, 237, 249, 267, 291, 303, 309, 315, 321, 327, 339, 381, 393, 399, 411, 417, 447, 453, 471, 489, 501, 519, 537, 543, 573, 579, 591, 597, 633, 669, 681, 687, 693, 699, 717, 723, 753, 771, 789, 807, 813, 819, 831, 843, 849, 879, 921, 933, 939, 951, 993

4

6, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 40, 44, 48, 52, 60, 68, 76, 80, 92, 112, 116, 120, 124, 148, 154, 164, 172, 188, 208, 212, 236, 240, 244, 264, 268, 280, 284, 292, 316, 332, 340, 356, 364, 388, 404, 412, 428, 436, 452, 508, 520, 524, 548, 556, 596, 604, 628, 652, 668, 692, 716, 724, 760, 764, 772, 788, 796, 844, 892, 908, 916, 932, 956, 964

5

25, 65, 85, 145, 165, 185, 205, 265, 305, 365, 445, 485, 505, 545, 565, 685, 745, 785, 825, 865, 905, 965, 985

6

8, 10, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 66, 72, 78, 84, 90, 102, 114, 126, 138, 168, 174, 186, 210, 222, 234, 246, 252, 258, 282, 318, 354, 366, 390, 396, 402, 426, 438, 456, 474, 498, 504, 534, 546, 582, 606, 618, 630, 642, 654, 678, 762, 786, 798, 822, 834, 894, 906, 942, 978

7

15, 49, 91, 133, 217, 259, 301, 427, 469, 511, 553, 679, 721, 763, 889, 973

8

12, 14, 16, 20, 24, 32, 40, 48, 56, 60, 80, 88, 96, 104, 120, 136, 140, 152, 160, 184, 224, 232, 240, 248, 260, 296, 308, 328, 344, 376, 408, 416, 424, 472, 480, 488, 528, 536, 560, 568, 584, 632, 664, 680, 712, 728, 776, 808, 824, 856, 872, 904

9

21, 27, 45, 63, 99, 105, 117, 153, 171, 189, 207, 261, 273, 279, 333, 369, 387, 423, 429, 477, 513, 531, 549, 585, 603, 639, 657, 711, 747, 801, 873, 909, 927, 945, 963, 981

10

12, 24, 28, 30, 50, 70, 110, 130, 150, 170, 190, 230, 290, 310, 330, 370, 410, 430, 442, 470, 530, 532, 550, 590, 610, 670, 710, 730, 790, 830, 890, 910, 970

11

15, 35, 121, 341, 451, 455, 671, 781

12

16, 18, 20, 22, 24, 36, 40, 42, 48, 60, 72, 80, 84, 120, 126, 132, 144, 156, 168, 180, 204, 228, 240, 252, 276, 312, 336, 348, 360, 372, 420, 444, 462, 468, 492, 504, 516, 564, 624, 636, 708, 720, 732, 780, 792, 804, 840, 852, 876, 912, 936, 948, 996

13

33, 169, 481, 793, 805, 949

14

24, 26, 30, 44, 56, 98, 182, 264, 266, 392, 434, 510, 518, 602, 854, 938

15

21, 39, 55, 63, 75, 195, 255, 275, 315, 435, 495, 555, 615, 795, 819, 915, 975

16

20, 24, 28, 32, 40, 48, 52, 60, 64, 66, 80, 96, 112, 120, 160, 176, 192, 208, 240, 272, 280, 304, 320, 364, 368, 448, 464, 480, 496, 520, 544, 592, 616, 656, 688, 752, 816, 832, 848, 944, 960, 976, 988

17

65, 77, 289, 665

18

24, 30, 34, 36, 42, 54, 72, 78, 84, 88, 90, 108, 126, 168, 198, 210, 216, 234, 252, 270, 306, 342, 378, 390, 414, 504, 522, 546, 558, 630, 666, 684, 702, 738, 756, 774, 846, 858, 954

19

51, 91, 361, 595, 703

20

24, 38, 40, 48, 56, 60, 68, 80, 100, 104, 120, 140, 200, 220, 240, 260, 300, 340, 380, 400, 440, 460, 560, 580, 600, 620, 660, 728, 740, 820, 860, 880, 884, 940

 

Il minimo quadrato magico di numeri di Knödel per k = 3 è il seguente.

87

267

69

123

141

159

213

15

195

 

Vedi anche

Numeri di Carmichael.

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