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Klarner (costante di)

Geometria  Matematica combinatoria  Vari 

Non si conosce alcuna formula generale per determinare il numero di polimini costruibili con un numero fissato di quadrati, tuttavia David Klarner dimostrò nella sua tesi di laurea nel 1966 che esiste una costante K tale che il numero di n-omini, contando separatamente i diversi orientamenti che possono avere, tende a Kn al tendere di n all’infinito. La costante K è da allora nota come “costante di Klarner” e il suo esatto valore è oggetto di ricerca.

I migliori limiti noti sono 3.903137 < K < 4.649551. Il limite inferiore si deve a Gill Barequet, Micha Moffie, Ares Ribo e Guenter Rote (2006); quello superiore allo stesso Klarner.

 

Un polimino si dice “convesso per righe” se ogni sua sezione orizzontale consiste di un’unica fila di quadrati, Un polimino con la forma di una lettera “C” è convesso per righe, uno a forma di “U” no.

Un polimino si dice “convesso” se soddisfa questa definizione sia per le righe che per le colonne; il polimino può essere “convesso” in questo senso, senza esserlo come ordinaria figura piana: si pensi, per esempio, a un polimino a forma di “L”.

 

Il numero di polimini convessi per righe per un dato numero di quadrati si può trovare con una ricorrenza lineare di terzo ordine, mentre il numero di polimini convessi è dato da una ricorrenza molto complicata, scoperta nel 1995 da M. Bousquet-Mélou e J.-M. Fédou.

Vedi anche

Numero di polimini.

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