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Perfetti ridotti (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “perfetti ridotti” i numeri naturali uguali alla somma dei divisori propri meno uno, ovvero gli interi n tali che σ(n) – 1 = 2n, detti “quasi perfect” in inglese.

E’ meglio dire “si chiamerebbero”, perché non se ne conosce nessuno, anche se non è stato dimostrato che non possano esistere.

Sono state però dimostrate varie condizioni che numeri del genere devono soddisfare, se esistono.

 

Nel 1951 P. Cattaneo dimostrò che un numero perfetto ridotto deve essere un quadrato dispari n2, tutti i fattori primi di σ(n2) sono della forma 8k + 1 o 8k + 3 e nella scomposizione in fattori primi di n:

  • tutti i fattori primi della forma 8k + 1 sono elevati a un esponente a tale che a ≡ 0 o 1 mod 4;

  • tutti i fattori primi della forma 8k + 3 sono elevati a un esponente pari;

  • tutti i fattori primi della forma 8k + 5 sono elevati a un esponente a tale che a ≡ 0 o 3 mod 4.

 

Nel 1973 H.L Abbott, C.E. Aull, Ezra Brown e D. Suryanarayana dimostrarono che se n2 è perfetto ridotto:

  • la massima potenza di 3, 5, 11, 13, 23 o 47 che divide n2 ha esponente non della forma 3k + 2, quindi può essere 0, ma non 2;

  • la massima potenza di un primo della forma 8k + 3 che divide n2 ha esponente almeno 4;

  • la massima potenza di un primo della forma 8k + 5 che divide n2 ha esponente almeno 6;

  • la massima potenza di un primo della forma 5k + 1 che divide n2 non ha esponente 4;

  • se n è multiplo di 3, la massima potenza di un primo della forma 3k + 1 che divide n2 ha esponente almeno 4;

  • se n è multiplo di 3 e 19, n2 è multiplo di 1912;

  • se n non è multiplo di 5, è multiplo di un primo della forma 5k + 1;

  • se n è multiplo di 11, n2 è multiplo di 1112;

  • se n è multiplo di 23, n2 è multiplo di 234;

  • se n è multiplo di 47, n2 è multiplo di 474;

  • se n è multiplo di 3 e 5, non è multiplo di 1912;

  • se n ha esattamente 5 o 6 fattori primi distinti, questi comprendono 3 e almeno uno tra 5, 7 e 11.

 

Nel 1982 Graeme L. Cohen dimostrò che, se n2 è perfetto ridotto:

  • se pk è la massima potenza di p che divide n e q divide 2k + 1, con p e q primi, (q – 1)(p – 1) ≡ 0 o 4 mod 16;

  • se n non è multiplo di quadrati, n deve avere almeno 230000 fattori primi distinti;

  • n non è un quadrato;

  • n non è un cubo non divisibile per 3.

  • n non è della forma 3amb, con m non multiplo di 3, a della forma 5k + 2 e b multiplo di 5 o 11.

 

Non esistono numeri perfetti ridotti multipli di:

  • 3 • 5 • p, per p primo da 7 a 13 (H.L. Abbott, C.E. Aull, Ezra Brown e D. Suryanarayana, 1973);

  • 3 • 5 • 17 • p, per p primo da 19 a 31 (H.L. Abbott, C.E. Aull, Ezra Brown e D. Suryanarayana, 1973);

  • 3 • 5 • 17 • p, per p primo da 19 a 101 (Graeme L. Cohen, 1979);

  • 3 • 7 • 11 • p, per p primo da 13 a 17 (Graeme L. Cohen, 1979).

 

Il limite inferiore per un numero perfetto ridotto è stato progressivamente aumentato:

  • P. Cattaneo dimostrò nel 1951 che se non è multiplo di 3, deve avere almeno 7 fattori primi distinti;

  • Schinzel dimostrò che deve essere maggiore di 11000 e avere almeno 3 fattori primi distinti;

  • H.L Abbott, C.E. Aull, Ezra Brown e D. Suryanarayana dimostrarono nel 1973 che deve essere maggiore di 1020 e avere almeno 5 fattori primi distinti, numero che sale a 8 se non è multiplo di 3 e se sono 8 e non includono 3, devono includere 5 e 7; inoltre se non è multiplo di 3 né di 5, deve essere maggiore di 1032 e avere almeno 10 fattori primi distinti;

  • P. Hagis e Graeme L. Cohen dimostrarono nel 1982 che deve essere maggiore di 1035 e avere almeno 7 fattori primi distinti e se non è multiplo di 3, deve essere maggiore di 1040 e avere almeno 9 fattori primi distinti.

 

La situazione assomiglia quindi a quella dei numeri perfetti dispari: non se ne conosce nessuno, si ritiene che non esistano e sono state stabilite condizioni sempre più stringenti che tali numeri dovrebbero soddisfare, ma la dimostrazione della loro inesistenza resta elusiva.

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