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Perfetti aumentati (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “perfetti aumentati”, o “almost-perfect” in inglese, i numeri naturali uguali alla somma dei divisori propri più uno, ovvero gli interi n tali che σ(n) + 1 = 2n.

 

Se n = 2k, σ(n) = 2n – 1, quindi tutte le potenze di 2, incluso 1, sono numeri perfetti aumentati. Non si conoscono però altri numeri con la stessa proprietà, anche se non è stato dimostrato che non possano esistere; se esistono, sono maggiori di 1012.

 

Se esiste un numero perfetto aumentato n dispari maggiore di 1, deve avere almeno 6 fattori primi distinti (Masao Kishore, 1978) e n(2n – 1) è un numero di Cartesio.

 

Se esiste un numero perfetto aumentato diverso dalle potenze di 2, deve avere la forma 2km2, con m dispari e 0 ≤ k < log2(m + 1) – 1 (John Rafael Antalan, 2013).

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