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Gilbreath (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Tra le congetture riguardanti le differenze tra primi consecutivi, ve n’è una particolarmente interessante: la congettura di Gilbreath, che prende il nome dal matematic americano Norman L. Gilbreath, che la propose nel 1958.

Scriviamo i numeri primi su una riga, poi formiamo una tabella, scrivendo ogni volta sulla riga sottostante le differenze tra numeri consecutivi (in valore assoluto).

La tabella si presenterà come quella mostrata di seguito.

2

 

3

 

5

 

7

 

11

 

13

 

17

 

19

 

23

 

29

 

31

 

37

 

41

 

1

 

2

 

2

 

4

 

2

 

4

 

2

 

4

 

6

 

2

 

6

 

4

 

 

 

1

 

0

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

4

 

4

 

2

 

 

 

 

 

1

 

2

 

0

 

0

 

0

 

0

 

0

 

2

 

0

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

0

 

0

 

0

 

0

 

2

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

0

 

0

 

0

 

2

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

0

 

0

 

2

 

2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

Gilbreath suppose che tutte le righe inizino con 1.

La congettura è stata verificata per i primi fino a 1013, ovvero per 346,065,536,839 righe (A.M. Odlyzko, 1993), quindi è “sperimentalmente” molto plausibile, ma siamo molto lontani dalla dimostrazione.

 

In realtà il primo a supporre questo fatto fu Proth nel 1878, che credette anche d’aver trovato una dimostrazione, poi rivelatasi errata.

Croft e altri hanno supposto che valga per tutte le sequenze che iniziano con 2, contengono poi solo numeri dispari e non crescono troppo rapidamente.

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