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Keplero – Bouwkamp (costante di)

Geometria 

Mentre lavorava al problema delle orbite planetarie, Keplero si accorse che descrivendo le orbite di Giove e Saturno con circonferenze (una ragionevole approssimazione, che molti al tempo credevano esatta), tra i due si può all’incirca inserire un triangolo equilatero, circoscritto all’una e inscritto nell’altra.

Nella sua ricerca di un ordine celeste basato sulla geometria, provò quindi a inscrivere un quadrato nell’orbita di Giove, per approssimare l’orbita di Marte col cerchio inscritto in quest’ultimo. Per un breve periodo ritenne forse di poter spiegare le dimensioni delle orbite dei pianeti con una sequenza di cerchi e poligoni con un numero crescente di lati, inscritti l’uno dentro l’altro. A parte il disaccordo con i dati sperimentali, questa costruzione non spiegava il numero finito di pianeti e Keplero passò quindi a una costruzione analoga, utilizzando però i solidi platonici, che sapeva bene essere in numero finito: con 5 solidi poteva spiegare le 6 orbite, supposte circolari, dei pianeti allora noti.

I rapporti dei raggi tra sfera inscritta e sfera circoscritta sono:

  • per il tetraedro Rapporto tra raggio della sfera inscritta e raggio della sfera circoscritta per il tetraedro;

  • per il cubo e l’ottaedro Rapporto tra raggio della sfera inscritta e raggio della sfera circoscritta per il cubo e l'ottaedro;

  • per il dodecaedro e l’icosaedro Rapporto tra raggio della sfera inscritta e raggio della sfera circoscritta per il dodecaedro e l’icosaedro.

Il rapporto tra i raggi della prima e dell’ultima sfera diviene quindi Rapporto tra i raggi della prima e dell’ultima sfera, piuttosto lontano dal rapporto tra i semiassi maggiori delle orbite di Mercurio e Saturno, uguale a circa 0.040398.

 

Keplero abbandonò infine l’ipotesi di orbite circolari, ma la sua costruzione di 5 solidi inscritti in 5 sfere e circoscritti ad altrettante rimase famosa.

 

Che succede se portiamo all’infinito la costruzione di Keplero con i poligoni? Il disegno ottenuto si presenta all’incirca come quello riportato di seguito.

 

Costruzione di Keplero con infiniti poligoni

 

 

In modo simile possiamo circoscrivere un triangolo a un cerchio, un cerchio a quest’ultimo e proseguire verso l’esterno, con poligoni con numero di lati via via crescente, come nel disegno seguente.

 

Costruzione di Keplero con infiniti poligoni

 

 

Non è del tutto evidente il fatto che nei due casi i cerchi tendano a un limite finito e ancor più difficile calcolare le dimensioni del cerchio limite.

 

Se la circonferenza di partenza ha raggio 1, la circonferenza limite nel primo caso ha raggio Formula per la definizione della costante di Keplero – Bouwkamp, valore detto “costante di Keplero – Bouwkamp”, e nel secondo ha raggio uguale al reciproco di questo valore, cioè circa 8.7000366252 (alcuni Autori chiamano costante di Keplero – Bouwkamp questo secondo valore).

Qui trovate le prime 102 cifre decimali della prima costante (Eric W. Weisstein, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 102 cifre decimali della seconda costante (Eric W. Weisstein, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

A.C. Bouwkamp fu il primo matematico a trovare nel 1965 una formula con una convergenza più rapida, permettendo di calcolare facilmente numerose cifre della costante.

 

La costante è anche uguale a:

Formula per il calcolo della costante di Keplero – Bouwkamp (Bowkamp, 1965),

Formula per il calcolo della costante di Keplero – Bouwkamp (Bowkamp, 1965),

Formula per il calcolo della costante di Keplero – Bouwkamp,

Formula per il calcolo della costante di Keplero – Bouwkamp,

Formula per il calcolo della costante di Keplero – Bouwkamp (Bowkamp, 1965),

Formula per il calcolo della costante di Keplero – Bouwkamp,

Formula per il calcolo della costante di Keplero – Bouwkamp (Bowkamp, 1965).

 

L’ultima formula, nonostante il suo aspetto poco incoraggiante, ha una convergenza molto rapida.

 

Inoltre definendo Formula per la definizione della funzione fLimite legato all costante di Keplero – Bouwkamp è uguale alla metà della costante.

 

Se si utilizzano solo poligoni con un numero primo di lati maggiore di 2, la costante diviene Formula per la definizione della costante, usando solo poligoni con un numero primo di lati. Questa costante è anche uguale a Formula per il calcolo della costante, usando solo poligoni con un numero primo di lati.

Qui trovate le prime 81 cifre decimali della costante, nel caso di poligoni con un numero primo di lati (R.J. Mathar, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

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