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Sono detti “cortesi” i numeri naturali che possono essere rappresentati come somma di due o più interi positivi consecutivi.

I numeri non rappresentabili in questo modo sono detti “scortesi”.

 

Il numero di rappresentazioni di n come somma di interi consecutivi è uguale al numero di divisori dispari di n maggiori di 1. Infatti, per ogni divisore dispari d di n maggiore di 1 esiste la scomposizione Rappresentazione di n come somma di interi consecutivi, corrispondente al divisore dispari d.

Per esempio, 15 ha 3 divisori dispari maggiori di 1, 3, 5 e 15, e le corrispondenti rappresentazioni: 7 + 8, 4 + 5 + 6 e 1 + 2 + 3 + 4 + 5.

Nel calcolare la somma può capitare che compaiano termini nulli o negativi, nel qual caso i termini nulli si omettono e quelli negativi cancellano i corrispondenti termini positivi.

Per esempio, 14 ha come unico divisore dispari 7 e la formula ci dà la scomposizione 14 = –1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5, che si semplifica riducendosi a 14 = 2 + 3 + 4 + 5.

 

Di conseguenza gli unici numeri scortesi sono le potenze di 2.

 

Se la scomposizione in fattori primi è Scomposizione in fattori primi di n, il numero di rappresentazioni può essere calcolato come Numero di rappresentazioni di n.

 

I possibili numeri di addendi delle rappresentazioni di n, contando anche i termini negativi, sono i divisori dispari di n maggiori di 1 e minori di sqrt(2 * n) e i numeri della forma 2 * n / d, per ogni divisore dispari di n maggiore di sqrt(2 * n). Per esempio, le rappresentazioni di 30 come somma di interi positivi consecutivi sono: 9 + 10 + 11, 4 + 5 + 6 + 7 + 8 e 6 + 7 + 8 + 9, con 3, 5 e 4 addendi e infatti i divisori dispari di 30 maggiori di 1 e minori di sqrt(60) sono 3 e 5, mentre 15 è un divisore dispari maggiore di sqrt(60) e 60 / 15.

 

Alcune semplici proprietà delle rappresentazioni di numeri naturali come somma di interi positivi consecutivi:

  • la massima potenza di 2 che divide uno degli addendi nella rappresentazione di n è il doppio della massima potenza di 2 che divida n; per esempio, la massima potenza di 2 che divide 30 è 2 e la massima potenza di 2 che divida uno degli addendi nelle rappresentazioni di 30 è 4;

  • il minimo intero che abbia n rappresentazioni è 3n; per esempio, il minimo intero con 3 rappresentazioni è 27 (27 = 8 + 9 + 10 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 13 + 14);

  • il minimo intero nelle cui rappresentazioni compaia n è 2n – 1; per esempio, il minimo intero nelle cui rappresentazioni compaia 5 è 9 (9 = 4 + 5).

  • il minimo intero che abbia una rappresentazione con n addendi è n * (n + 1) / 2; per esempio, il minimo intero con una rappresentazione con 5 addendi è 15 (15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5);

  • la rappresentazione di n col massimo numero di addendi ne ha max(d(1), 2 * n / d(2)), dove d1 è il massimo divisore dispari di n minore di sqrt(2 * n) e d2 è il minimo divisore dispari di n maggiore di sqrt(2 * n);

  • i numeri di addendi di tutte le rappresentazioni sono dispari se e solo se tutti i divisori dispari di n sono minori di sqrt(2 * n); per esempio, 240 ha solo rappresentazioni con un numero dispari di addendi (i divisori dispari maggiori di 1 sono 3, 5 e 15 e 240 = 79 + 80 + 81 = 46 + 47 + 48 + 49 + 59 = 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23);

  • le rappresentazioni con un numero pari di addendi sono meno di quelle con un numero dispari, tranne per i numeri della forma n = 2kp, con p primo dispari maggiore di 2k + 1, che hanno un’unica rappresentazione, con un numero pari di addendi; per esempio, 14 = 217, 7 > 22 e 14 ha una sola rappresentazione, con un numero pari di addendi (14 = 2 + 3 + 4 + 5).

 

Se una delle scomposizioni inizia con 1, il numero è triangolare, altrimenti è trapezoidale; i numeri cortesi sono quindi l’unione dei numeri trapezoidali e di quelli triangolari.

Gli unici numeri triangolari, ma non trapezoidali sono i numeri perfetti pari e i numeri della forma Numeri cortesi, ma non triangolari, dove Fn è un numero primo di Fermat.

 

L’n-esimo numero cortese è Formula per l’n-esimo numero cortese.

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