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Trapezoidali (numeri)

Numeri figurati 

Si chiamano “trapezoidali” i numeri di palline che possono essere disposti a formare un trapezio isoscele, come mostra la figura.

 

Raffigurazione dei numeri trapezoidali

 

 

Sono quindi numeri figurati.

 

Ogni numero trapezoidale è la differenza tra due numeri triangolari.

Comunemente non si considerano trapezoidali i numeri triangolari, che rappresentano il caso particolare nel quale il sottraendo è nullo, né i numeri rappresentati da un’unica riga di palline, cioè i numeri che sono la differenza tra numeri triangolari consecutivi; ammettendo le configurazioni di altezza 1, infatti, ogni numero naturale sarebbe un numero trapezoidale, perché n = TnTn – 1;

 

Si tratta di una categoria di numeri scarsamente interessante, perché, a differenza di quanto accade con gli altri numeri figurati, quasi tutti i numeri naturali sono trapezoidali.

Infatti, gli unici numeri naturali che non siano trapezoidali in senso stretto sono:

 

I numeri rappresentabili come somma di due o più interi consecutivi, quindi triangolari o trapezoidali, sono detti “cortesi”; gli unici numeri scortesi sono quindi le potenze di 2.

Se i primi di Mersenne o quelli di Fermat sono infiniti, esistono infiniti numeri cortesi non trapezoidali.

 

M.A. Nyblom dimostrò nel 1999 che il numero di rappresentazioni di un intero n come differenza di numeri triangolari è uguale al numero di divisori dispari di n vale a dire che se Scomposizione di n come prodotto di fattori primi, con i vari pk primi dispari distinti, il numero di modi è Numero di rappresentazioni di n come differenza di numeri triangolari.

Se permettiamo anche interi negativi, il numero di possibilità raddoppia, perché ad ogni somma da k a m possiamo aggiungere gli interi da –(k – 1) a k – 1, che hanno somma nulla. Per esempio, alla scomposizione 52 + 53 possiamo aggiungere gli interi da –51 a 51, ottenendo una nuova scomposizione di 105.

Di conseguenza il numero di rappresentazioni di n come numero trapezoidale (ossia come somma di interi positivi consecutivi) è uguale al numero dei suoi divisori dispari meno 2, se n è triangolare, meno 1 altrimenti.

 

Le rappresentazioni si trovano facilmente a partire dalle scomposizioni di 8n: se 8n = ab, con uno dei due numeri multiplo di 4 e l’altro multiplo di 2, ma non di 4, allora Rappresentazione di n come differenza tra due numeri triangolari; le basi dei trapezi sono (a + b – 2) / 4(a – b + 2) / 4 e l’altezza è b / 2.

Per esempio, per n = 30, le scomposizioni di 240 come prodotto di due numeri pari, uno solo dei quali multiplo di 4, sono:

  • 2 • 120, da cui 30 = T30T29 = 465 – 435;

  • 6 • 40, da cui 30 = T11T8 = 66 – 36;

  • 8 • 30, da cui 30 = T9T5 = 45 – 15;

  • 10 • 24, da cui 30 = T8T3 = 36 – 6.

In effetti, i divisori dispari di 30 sono 4: 1, 3, 5, 15 e 3 sono i modi di esprimere 30 come differenza di numeri triangolari non consecutivi.

 

Per n primo dispari vi è una sola rappresentazione: Rappresentazione di n come differenza tra due numeri triangolari (comune a tutti i numeri dispari), corrispondente alla differenza tra due numeri triangolari con indici differenti di 2; per esempio, per n = 11 abbiamo 30 = T6T4 = 21 – 10. Di conseguenza un primo dispari si può rappresentare in un solo modo come somma di interi consecutivi.

 

Ogni potenza n-esima che non sia una potenza di 2 è un numero trapezoidale; per trovare le rappresentazioni, si può utilizzare il metodo riportato sopra oppure prendere due interi p e q maggiori di zero e tali che pq sia la potenza n-esima e che:

  • p sia dispari e tale che p – 2q + 1 > 0, nel qual caso la somma degli interi da (p + 1) / 2 – q(p – 1) / 2 + q è pq;

  • q sia dispari e tale che 2pq + 1 > 0, nel qual caso la somma degli interi da p + (1 – q) / 2p + (q – 1) / 2 è pq.

Escludendo i casi banali della somma degli interi da 0 a 1, uguale a 1, quindi a una potenza n-esima per ogni valore di n, e di somme costituite da un unico termine, uguale a una potenza, le minime somme di due o più interi consecutivi uguali a potenze n-esime, sono somme uguali a potenze di 3, ottenute con le formule sopra riportate. La tabella seguente riporta le rappresentazioni per esponenti fino a 10.

Esponente

Primo termine

Ultimo termine

Somma

1

1

2

3

2

2

4

4

5

9 = 32

3

2

8

13

7

10

14

27 = 33

4

5

11

26

40

13

16

28

41

81 = 34

5

5

23

38

80

121

22

31

43

82

121

243 = 35

6

14

32

77

119

242

364

40

49

85

124

244

365

729 = 36

7

14

68

113

239

362

728

1093

67

94

130

247

367

730

1094

2187 = 37

8

41

95

230

356

725

1091

2186

3280

121

148

256

373

733

1096

2188

3281

6561 = 38

9

41

203

338

716

1085

2183

3278

6560

9841

202

283

391

742

1102

2191

3283

6562

9842

19683 = 39

10

122

284

689

1067

2174

3272

6557

9839

19682

29524

364

445

769

1120

2200

3289

6565

9844

19684

29525

59049 = 310

 

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