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Trapezoidali (numeri)

Numeri figurati 

Si chiamano “trapezoidali” i numeri di palline che possono essere disposti a formare un trapezio isoscele, come mostra la figura.

Raffigurazione dei numeri trapezoidali

 

Sono quindi numeri figurati.

 

Ogni numero trapezoidale è la differenza tra due numeri triangolari.

Comunemente non si considerano trapezoidali i numeri triangolari, che rappresentano il caso particolare nel quale il sottraendo è nullo, né i numeri rappresentati da un’unica riga di palline, cioè i numeri che sono la differenza tra numeri triangolari consecutivi; ammettendo le configurazioni di altezza 1, infatti, ogni numero naturale sarebbe un numero trapezoidale, perché n = TnTn – 1;

 

Si tratta di una categoria di numeri scarsamente interessante, perché, a differenza di quanto accade con gli altri numeri figurati, quasi tutti i numeri naturali sono trapezoidali.

Infatti, gli unici numeri naturali che non siano trapezoidali in senso stretto sono:

 

I numeri rappresentabili come somma di due o più interi consecutivi, quindi triangolari o trapezoidali, sono detti “cortesi”; gli unici numeri scortesi sono quindi le potenze di 2.

Se i primi di Mersenne o quelli di Fermat sono infiniti, esistono infiniti numeri cortesi non trapezoidali.

 

M.A. Nyblom dimostrò nel 1999 che il numero di rappresentazioni di un intero n come differenza di numeri triangolari è uguale al numero di divisori dispari di n e quindi il numero di rappresentazioni di n come numero trapezoidale è uguale al numero dei suoi divisori dispari meno 2, se n è triangolare, meno 1 altrimenti.

 

Le rappresentazioni si trovano facilmente a partire dalle scomposizioni di 8n: se 8n = ab, con uno dei due numeri multiplo di 4 e l’altro multiplo di 2, ma non di 4, allora Rappresentazione di n come differenza tra due numeri triangolari; le basi dei trapezi sono (a + b – 2) / 4(a – b + 2) / 4 e l’altezza è b / 2.

Per esempio, per n = 30, le scomposizioni di 240 come prodotto di due numeri pari, uno solo dei quali multiplo di 4, sono:

  • 2 • 120, da cui 30 = T30T29 = 465 – 435;

  • 6 • 40, da cui 30 = T11T8 = 66 – 36;

  • 8 • 30, da cui 30 = T9T5 = 45 – 15;

  • 10 • 24, da cui 30 = T8T3 = 36 – 6.

In effetti, i divisori dispari di 30 sono 4: 1, 3, 5, 15 e 3 sono i modi di esprimere 30 come differenza di numeri triangolari non consecutivi.

 

Per n primo dispari vi è una sola rappresentazione: Rappresentazione di n come differenza tra due numeri triangolari (comune a tutti i numeri dispari), corrispondente alla differenza tra due numeri triangolari con indici differenti di 2; per esempio, per n = 11 abbiamo 30 = T6T4 = 21 – 10.

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