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Keith inversi (numeri di)

Rappresentazione dei numeri 

I numeri di Keith inversi sono definiti in modo analogo ai numeri di Keith: a partire da un numeri naturale si genera una sequenza di interi, che inizia con le n cifre del numero e si prosegue in modo simile alla sequenza di Fibonacci, con interi ciascuno uguale alla somma degli n precedenti (con n > 1); se la sequenza contiene il numero di partenza scritto a rovescio, il numero si dice “numero di Keith inverso”. Per esempio, 341 è un numero di Keith inverso, perché iniziando con 3, 4 e 1 e sommando ogni volta gli ultimi 3 numeri, otteniamo la sequenza: 3, 4, 1, 8, 13, 22, 43, 78, 143.

In questo caso si escludono i numeri che terminano per zero, perché lo zero sarebbe eliminato scrivendo il numero a rovescio e si avrebbe un numero di meno cifre.

 

Questi numeri vennero poi trattati in alcuni articoli apparsi nel 1994 sul Journal of Recreational Mathematics; sono anche chiamati revrepfigit, da reverse repetitive Fibonacci-like digit.

 

Come per i numeri di Keith, non si sa se siano in numero finito o infinito.

 

Esistono numeri di Keith inversi che sono tali in più basi, come 26, in base 8, 9 e 12, o 37, in base 6, 11 e 15, però potrebbero essere in numero finito in ogni combinazione di basi, perché gli esempi sembrano limitati a numeri piuttosto piccoli. Per esempio, il massimo numero di Keith noto in due basi da 2 a 20 è 1444 (in base 13 e 15) e non ve ne sono altri inferiori a 109.

 

La tabella seguente mostra i numeri di Keith inversi fino a 106 nelle basi fino a 20.

Base

Numeri di Keith inversi

2

112 = 3

3

10113 = 31, 20223 = 62, 2202213 = 673, 2210113 = 679, 11120023 = 1109, 100202013 = 2368, 111020113 = 3217, 211222123 = 5585, 2010221013 = 14077, 2110211013 = 16237, 2210201013 = 18397, 1222201202013 = 352531

4

114 = 5, 224 = 10, 334 = 15, 1024 = 18, 1314 = 29, 3014 = 49, 202234 = 555, 301024 = 786, 320134 = 903, 2102014 = 2337, 2201114 = 2581, 2300214 = 2825, 2322024 = 2978, 23123014 = 11697, 33032014 = 15585, 33331214 = 16345, 113330214 = 24521, 13212120314 = 498061, 20022021014 = 534673, 32032111314 = 932189

5

215 = 11, 425 = 22, 1115 = 31, 1325 = 42, 2015 = 51, 2225 = 62, 2435 = 73, 3125 = 82, 3335 = 93, 4025 = 102, 4235 = 113, 4445 = 124, 30225 = 387, 33015 = 451, 42215 = 561, 2124315 = 7241, 4124345 = 13494, 11340115 = 21131, 24212215 = 45186, 32043315 = 53716, 401210045 = 317004

6

126 = 8, 246 = 16, 316 = 19, 1016 = 37, 2026 = 74, 3036 = 111, 3116 = 115, 4046 = 148, 5056 = 185, 32016 = 721, 40316 = 883, 40556 = 899, 242346 = 3550, 313016 = 4213, 10401516 = 51907, 13141356 = 72203, 14513016 = 84565, 124121316 = 406135, 234010016 = 731161

7

117 = 8, 227 = 16, 337 = 24, 417 = 29, 447 = 32, 557 = 40, 667 = 48, 1117 = 57, 2227 = 114, 2617 = 141, 3337 = 171, 4317 = 218, 4447 = 228, 5557 = 285, 6017 = 295, 6667 = 342, 11217 = 407, 22427 = 814, 26317 = 1002, 33637 = 1221, 35617 = 1317, 122237 = 3202, 230417 = 5860, 244467 = 6404, 311337 = 7619, 433567 = 10821, 500437 = 12036, 555117 = 13973, 622667 = 15238, 1463647 = 28662, 2234217 = 39656

8

328 = 26, 518 = 41, 648 = 52, 3738 = 251, 4638 = 307, 5538 = 363, 5718 = 377, 6438 = 419, 6518 = 425, 7318 = 473, 7338 = 475, 47058 = 2501, 236018 = 10113, 1243518 = 43241, 4605548 = 156012, 5176458 = 171941, 6663228 = 224466, 7230538 = 239147

9

149 = 13, 219 = 19, 289 = 26, 429 = 38, 619 = 55, 639 = 57, 849 = 76, 2129 = 173, 2319 = 190, 4249 = 346, 4629 = 380, 6369 = 519, 8489 = 692, 34819 = 2584, 35419 = 2629, 36019 = 2674, 75549 = 5557, 727459 = 47993, 2482359 = 150368, 3238359 = 193136, 3515759 = 211154, 5000629 = 295301, 5237729 = 311186, 5770159 = 346289, 6526159 = 389057, 6764319 = 404947, 6803559 = 407075, 8011029 = 473204, 16038259 = 888593

10

12, 24, 36, 48, 52, 71, 341, 682, 1285, 5532, 8166, 17593, 28421, 74733, 90711, 759664, 901921

11

3111 = 34, 3411 = 37, 6211 = 68, 6811 = 74, 8111 = 89, 9311 = 102, 18311 = 212, 22511 = 269, 44A11 = 538, A3411 = 1247, 131511 = 1710, 163311 = 2093, 252111 = 3290, 262A11 = 3420, 4A4211 = 6580, 524A11 = 6951, 3138A11 = 45715, 22537311 = 358482, 35142111 = 558196, 42076111 = 674400

12

1112 = 13, 2212 = 26, 3312 = 39, 4412 = 52, 5512 = 65, 6612 = 78, 7212 = 86, 7712 = 91, 8812 = 104, 9112 = 109, 9912 = 117, AA12 = 130, BB12 = 143, 49112 = 685, 66112 = 937, 77B12 = 1103, 83112 = 1189, A0112 = 1441, B07112 = 19093, BA7212 = 20534, 1604412 = 31156, 19A8B12 = 37835, 5296312 = 108507, 5375112 = 109933, 9118612 = 188598, B265312 = 232479, B681912 = 239637

13

4113 = 53, 5413 = 69, 8213 = 106, A113 = 131, A813 = 138, C313 = 159, 10413 = 173, 20813 = 346, 30C13 = 519, 87113 = 1444, 97313 = 1615, B1613 = 1878, B9B13 = 1987, 139513 = 2826, 671513 = 14383, 7AAA13 = 17209, 848713 = 18363, 965113 = 20853, B32213 = 24702, 38C9113 = 105405, 24AB9213 = 880778, 2637CB13 = 921893

14

1714 = 21, 3214 = 44, 6414 = 88, 9214 = 128, 9614 = 132, B114 = 155, C814 = 176, 34314 = 647, 68614 = 1294, 9C914 = 1941, 443914 = 11811, 524114 = 14169, A48214 = 28338, C33D14 = 33571, 5440214 = 203842, 763D414 = 286150, 7DB3114 = 306783, A880414 = 407684, BDC8114 = 460713, CA7D614 = 489992

15

2715 = 37, 4E15 = 74, 5115 = 76, 7415 = 109, A215 = 152, C115 = 181, E815 = 218, 22515 = 485, 33215 = 722, 44A15 = 970, 53115 = 1171, 66415 = 1444, 99615 = 2166, A6215 = 2342, CC815 = 2888, D9115 = 3061, 4E1415 = 16669, 545115 = 17851, A8A215 = 35702, BE3115 = 40321, 4688115 = 224671, 6329515 = 314465

16

2116 = 33, 3716 = 55, 4216 = 66, 6316 = 99, 6E16 = 110, 8416 = 132, A516 = 165, B216 = 178, C616 = 198, D116 = 209, E716 = 231, 19116 = 401, 81716 = 2071, B1316 = 2835, FD116 = 4049, 55A116 = 21921, 3DBF116 = 252913, 46E3116 = 290353, 5E63116 = 386609, 60ACF16 = 395983, 99F3716 = 630583

17

4717 = 75, 6117 = 103, 8E17 = 150, 9417 = 157, C217 = 206, E117 = 239, 25517 = 668, 4AA17 = 1336, 6FF17 = 2004, 70417 = 2027, 95917 = 2695, AD217 = 3113, BAE17 = 3363, E0817 = 4054, G5D17 = 4722, 3BB317 = 18108, 505117 = 24651, 801717 = 39328, 8BG417 = 42759, A0A217 = 49302, F0F317 = 73953, G02E17 = 78656, G83317 = 80974, 2863717 = 208138, 4FG9117 = 412557, 4GC6E17 = 416276, 589F517 = 459770, 5G18417 = 496642, 7DG9117 = 653294, A515117 = 860150, ABG9117 = 894031

18

5218 = 92, 5718 = 97, A418 = 184, AE18 = 194, D218 = 236, F118 = 271, F618 = 276, 14118 = 397, 28218 = 794, 3C318 = 1191, 4FB18 = 1577, 4G418 = 1588, D5918 = 4311, 3HA318 = 23187, F1BH18 = 88019, F75118 = 89839, H4F118 = 100711

19

6719 = 121, 7119 = 134, B419 = 213, CE19 = 242, E219 = 268, G119 = 305, 7B319 = 2739, D1119 = 4713, 13B119 = 8152, 3E0919 = 25640, 471119 = 29983, 5AC219 = 38135, 5I7119 = 40927, 8E2219 = 59966, 9HD319 = 68118, GAG119 = 113659, 2H7C319 = 380003, 4B9B119 = 600192

20

1120 = 21, 2220 = 42, 3120 = 61, 3320 = 63, 4420 = 84, 5520 = 105, 6220 = 122, 6620 = 126, 7720 = 147, 8820 = 168, 9320 = 183, 9920 = 189, AA20 = 210, BB20 = 231, C420 = 244, CC20 = 252, DD20 = 273, EE20 = 294, F220 = 302, F520 = 305, FF20 = 315, GG20 = 336, H120 = 341, HH20 = 357, I620 = 366, II20 = 378, JJ20 = 399, DEA20 = 5490, E2120 = 5641, HI520 = 7165, 1C5320 = 12903, C44720 = 97687, DBA520 = 108605, DIF120 = 111501

 

La tabella seguente mostra i numeri di Keith inversi primi fino a 109 nelle basi fino a 20.

Base

Numeri di Keith inversi primi

2

112 = 3

3

10113 = 31, 2202213 = 673, 11120023 = 1109, 111020113 = 3217, 2210201013 = 18397

4

114 = 5, 1314 = 29, 13212120314 = 498061, 32032111314 = 932189

5

215 = 11, 1115 = 31, 2435 = 73, 4235 = 113

6

316 = 19, 1016 = 37, 40316 = 883, 10401516 = 51907, 443200416 = 1332313, 1053315243116 = 419153299

7

417 = 29

8

518 = 41, 3738 = 251, 4638 = 307, 6438 = 419, 7230538 = 239147

9

149 = 13, 219 = 19, 2129 = 173, 75549 = 5557, 6526159 = 389057, 21115189 = 1129643, 373756719 = 18296263

10

71, 1593583, 54734431

11

3411 = 37, 8111 = 89, 22511 = 269

12

1112 = 13, 9112 = 109, 66112 = 937, 77B12 = 1103, 6A355112 = 1706317, A39551112 = 30802333, 1078403112 = 37746469, 4607244112 = 161392369

13

4113 = 53, A113 = 131, 10413 = 173, B9B13 = 1987, 7AAA13 = 17209, C36B290C13 = 770010487

14

34314 = 647

15

2715 = 37, 7415 = 109, C115 = 181, 53115 = 1171, D9115 = 3061, 545115 = 17851

16

19116 = 401, FD116 = 4049, 3DBF116 = 252913, 5E63116 = 386609, 99F3716 = 630583

17

6117 = 103, 9417 = 157, E117 = 239, 70417 = 2027, E5F39117 = 20370319, FG3F5F417 = 385107209

18

5718 = 97, F118 = 271, 14118 = 397, F1BH18 = 88019, F75118 = 89839, DBH35518 = 25819331

19

471119 = 29983, 5I7119 = 40927, H93B119 = 2278481

20

3120 = 61, E2120 = 5641, C44720 = 97687, 49524320 = 14280883

 

Vedi anche

Numeri di Keith.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosit√† matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Keith, Mike;  "Repfigit Numbers" in Journal of Recreational Mathematics, n. 19, 1987.
  • Pickover, Clifford A.;  "All Known Replicating Fibonacci Digits Less Than One Billion" in Journal of Recreational Mathematics, Vol. 22, n. 3, p. 176, 1990.
  • Sherriff, K.;  "Computing Replicating Fibonacci Digits" in Journal of Recreational Mathematics, n. 26, 1994.

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