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Keith (numeri di)

Rappresentazione dei numeri 

Nel 1987 Mike Keith scoprì che alcuni numeri naturali hanno una particolare proprietà: se si genera una sequenza di interi, che inizia con le n cifre dell’intero e prosegue in modo simile alla sequenza di Fibonacci, con interi ciascuno uguale alla somma degli n precedenti (con n > 1), la sequenza contiene il numero stesso; tali numeri sono da allora noti come “numeri di Keith”.

Per esempio, il numero 197 è un numero di Keith, perché iniziando con 1, 9 e 7 e proseguendo prendendo ogni volta la somma degli ultimi 3 interi, si ottiene la sequenza 1, 9, 7, 17, 33, 57, 107, 197.

 

Questi numeri vennero poi trattati in alcuni articoli apparsi nel 1994 sul Journal of Recreational Mathematics; sono anche chiamati repfigit, da repetitive Fibonacci-like digit.

 

Per ora si conoscono solo i 114 fino a 34 cifre e pochi altri; il massimo noto è 5752090994058710841670361653731519.

I numeri di Keith inferiori a 109 sono: 14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, 31331, 34285, 34348, 55604, 62662, 86935, 93993, 120284, 129106, 147640, 156146, 174680, 183186, 298320, 355419, 694280, 925993, 1084051, 7913837, 11436171, 33445755, 44121607, 129572008, 251133297.

Qui trovate i numeri di Keith noti (Mike Keith e Daniel Lichtblau, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

In base 10 i numeri di Keith primi noti sono: 19, 47, 61, 197, 1084051 e 74596893730427.

 

Nel 2008 Martin Klazar e Florian Luca dimostrarono che i numeri di Keith minori di n sono meno di Limite superiore per il numero di numeri di Keith minori di n e che in qualsiasi base maggiore di 2 i numeri di Keith rappresentati da una singola cifra ripetuta sono in numero finito.

Il limite superiore al loro numero sembra una grande sovrastima, perché l’evidenza sperimentale suggerisce che siano molti di meno e Keith suggerisce che potrebbero essere circa 3log10n.

 

Un “gruppo di Keith” è un insieme di numeri di Keith con lo stesso numero di cifre, tutti multipli del minimo tra essi; gli unici gruppi noti sono: { 14, 28 }, { 1104, 2208 }, e { 31331, 62662, 93993}.

 

Il minimo numero di Keith pandigitale è 27847652577905793413 (Daniel Lichtblau, 2004).

 

La definizione può essere estesa ad altre basi. In base 2 sono numeri di Keith tutte le potenze di 2 e inoltre se ne conoscono alcuni altri: 112 = 3, 100011112 = 143, 1000111012 = 285, 10001110012 = 569, 10101010112 = 683, 100011100102 = 1138, 101010101102 = 1366, 1000111001002 = 2276, 1001011010010110112 = 154203, 10010110100101101012 = 308405, 100101101001011010102 = 616810, 101001011010010110112 = 678491, 1010010110100101101012 = 1356981, 1011010010110100101112 = 1480343, 10100101101001011010102 = 2713962, 10110100101101001011102 = 2960686, 100000111110000011111000001111112 = 2212558911, 1000001111100000111110000011111012 = 4425117821, 10000011111000001111100000111110012 = 8850235641, 100000111110000011111000001111100012 = 17700471281 (T. D. Noe, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Gli unici primi noti tra i numeri di Keith in base 2 sono: 2, 3, 569 e 683.

 

Dato che tutte le potenze di 2 sono numeri di Keith in base 2, i numeri di Keith in base 2 sono infiniti, ma non è noto se in base 10 siano finiti o meno.

 

10b = b è un numero di Keith in tutte e sole le basi b che sono numeri di Fibonacci.

 

Esistono numeri di Keith che sono tali in più basi, come 13, in base 5, 7, 11, 12 e 13, o 37, in base 6, 8, 12, 13 e 19, però potrebbero essere in numero finito in ogni combinazione di basi, perché gli esempi sembrano limitati a numeri piuttosto piccoli. Per esempio, il massimo numero di Keith noto in due basi da 2 a 20 è 409 (in base 6 e 16) e non ve ne sono altri inferiori a 109.

 

La tabella seguente mostra i numeri di Keith fino a 106 nelle basi fino a 20.

Base

Numeri di Keith

2

102 = 2, 112 = 3, 1002 = 4, 10002 = 8, 100002 = 16, 1000002 = 32, 10000002 = 64, 100000002 = 128, 100011112 = 143, 1000000002 = 256, 1000111012 = 285, 10000000002 = 512, 10001110012 = 569, 10101010112 = 683, 100000000002 = 1024, 100011100102 = 1138, 101010101102 = 1366, 1000000000002 = 2048, 1000111001002 = 2276, 10000000000002 = 4096, 100000000000002 = 8192, 1000000000000002 = 16384, 10000000000000002 = 32768, 100000000000000002 = 65536, 1000000000000000002 = 131072, 1001011010010110112 = 154203, 10000000000000000002 = 262144, 10010110100101101012 = 308405, 100000000000000000002 = 524288, 100101101001011010102 = 616810, 101001011010010110112 = 678491

3

103 = 3, 123 = 5, 203 = 6, 213 = 7, 20103 = 57, 102103 = 102, 112013 = 127, 211223 = 206, 220013 = 217, 2210023 = 677, 10022113 = 805, 10110103 = 840, 20010013 = 1486, 20220203 = 1680, 21202203 = 1887, 22121023 = 2090, 102122223 = 2834, 1021021113 = 8329, 1112202023 = 10145, 1221221123 = 12866, 10012221113 = 21127, 10111122213 = 23002, 21201222113 = 50782, 101100112023 = 67925, 110121021023 = 82685, 112202112013 = 96841, 212110011203 = 153861, 1000021000113 = 178852, 2000112211023 = 357896

4

114 = 5, 134 = 7, 224 = 10, 334 = 15, 1024 = 18, 1314 = 29, 2334 = 47, 13014 = 113, 22034 = 163, 100314 = 269, 1013324 = 1150, 1100314 = 1293, 1311214 = 1881, 111221314 = 22173, 223201034 = 44563, 1131130034 = 95683, 3333310034 = 261955

5

105 = 5, 145 = 9, 205 = 10, 215 = 11, 235 = 13, 305 = 15, 405 = 20, 425 = 22, 1115 = 31, 1305 = 40, 1335 = 43, 2035 = 53, 2225 = 62, 2415 = 71, 3145 = 84, 3335 = 93, 4445 = 124, 11045 = 154, 13415 = 221, 34135 = 483, 441345 = 3044, 10444435 = 18748, 130123435 = 125973, 244113205 = 232085

6

126 = 8, 156 = 11, 246 = 16, 436 = 27, 1016 = 37, 1126 = 44, 2026 = 74, 2246 = 88, 3036 = 111, 4046 = 148, 5056 = 185, 15216 = 409, 22346 = 526, 151056 = 2417, 1042126 = 8720, 1321346 = 12154, 1544046 = 15268, 10202026 = 49322, 11530436 = 61587, 12445126 = 68444, 14352536 = 82833, 20404046 = 98644, 42312046 = 206356, 52031536 = 249549, 110015216 = 327001, 142150406 = 484512, 214341256 = 642437, 225040006 = 692928, 225243516 = 695659, 233253436 = 726975, 324000016 = 964225

7

117 = 8, 167 = 13, 227 = 16, 257 = 19, 337 = 24, 447 = 32, 557 = 40, 667 = 48, 1117 = 57, 2227 = 114, 2367 = 125, 2657 = 145, 3337 = 171, 4447 = 228, 5557 = 285, 6507 = 329, 6667 = 342, 15017 = 589, 55127 = 1969, 111557 = 2833, 202537 = 4938, 1542517 = 30318, 2365457 = 43153, 13012057 = 168516, 26015647 = 336774, 31212147 = 375008, 53564117 = 652933

8

108 = 8, 138 = 11, 178 = 15, 208 = 16, 268 = 22, 308 = 24, 408 = 32, 458 = 37, 508 = 40, 608 = 48, 708 = 56, 738 = 59, 1348 = 92, 1738 = 123, 3108 = 200, 3738 = 251, 4018 = 257, 6208 = 400, 7118 = 457, 15758 = 893, 53118 = 2761, 77108 = 4040, 107038 = 4547, 203108 = 8392, 217118 = 9161, 310418 = 12833, 406208 = 16784, 513518 = 21225, 716618 = 29617, 3702268 = 127126, 7212448 = 238244, 13435558 = 378733, 20034458 = 526117, 21734048 = 587524, 22224458 = 599333, 24414458 = 672549, 26604458 = 745765

9

189 = 17, 239 = 21, 279 = 25, 469 = 42, 749 = 67, 1009 = 81, 1169 = 96, 1229 = 101, 1759 = 149, 2009 = 162, 2129 = 173, 2449 = 202, 3009 = 243, 3669 = 303, 4009 = 324, 4249 = 346, 4889 = 404, 5009 = 405, 6009 = 486, 6369 = 519, 7009 = 567, 8009 = 648, 8489 = 692, 10039 = 732, 11529 = 857, 15619 = 1189, 20069 = 1464, 30139 = 2199, 60269 = 4398, 168679 = 11644, 271219 = 18325, 512869 = 33774, 522319 = 34453, 571119 = 37999, 1164449 = 70348, 1511009 = 92664, 2351559 = 141557, 4312559 = 256820, 4413009 = 263412, 5472269 = 326778, 5823559 = 349484, 8826009 = 526824, 10058229 = 535754, 10731809 = 579708

10

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, 31331, 34285, 34348, 55604, 62662, 86935, 93993, 120284, 129106, 147640, 156146, 174680, 183186, 298320, 355419, 694280, 925993

11

1211 = 13, 1A11 = 21, 2411 = 26, 2911 = 31, 3611 = 39, 4111 = 45, 4811 = 52, 5A11 = 65, 7611 = 83, 8211 = 90, 21911 = 262, 44111 = 529, 45611 = 545, 88211 = 1058, 287411 = 3711, 793011 = 10439, 1308A11 = 18732, 12584811 = 198008, 12636A11 = 198758, 16217211 = 251759, 21020211 = 336987, 35960011 = 569063, 42040411 = 673974

12

1112 = 13, 1512 = 17, 1B12 = 23, 2212 = 26, 2A12 = 34, 3112 = 37, 3312 = 39, 4412 = 52, 4912 = 57, 5512 = 65, 6212 = 74, 6612 = 78, 7712 = 91, 8812 = 104, 9312 = 111, 9912 = 117, AA12 = 130, BB12 = 143, 12512 = 173, 21512 = 305, 24A12 = 346, 40512 = 581, 42A12 = 610, 65412 = 928, 80A12 = 1162, 8A312 = 1275, A5912 = 1509, 102212 = 1754, 166212 = 2666, 204412 = 3508, 306612 = 5262, 408812 = 7016, 4A1A12 = 8374, 4AB112 = 8485, 50AA12 = 8770, 853812 = 14588, B18B12 = 19259, 1725612 = 33186, 1867112 = 35509, 24A7812 = 49916, 4718B12 = 95291, 517BA12 = 106558, 15761712 = 365491, 1A265A12 = 460582

13

1013 = 13, 1C13 = 25, 2013 = 26, 2513 = 31, 2B13 = 37, 3013 = 39, 4013 = 52, 4A13 = 62, 5013 = 65, 6013 = 78, 7013 = 91, 7813 = 99, 8013 = 104, 9013 = 117, A013 = 130, B013 = 143, C013 = 156, C513 = 161, 31413 = 524, 32913 = 542, 57313 = 939, 62813 = 1048, 81413 = 1369, 88713 = 1463, 93C13 = 1572, B6213 = 1939, B9B13 = 1987, 413613 = 9002, 778513 = 16671, 826C13 = 18004, 8A1C13 = 19291, A72313 = 23182, B8BB13 = 25673, 1C3C713 = 55595, 26B1413 = 72180, 7B38A13 = 224715, 12893913 = 447560, 15AB1B13 = 537951, 19710713 = 643897

14

1614 = 20, 1D14 = 27, 2114 = 29, 2C14 = 40, 4214 = 58, 4B14 = 67, 6314 = 87, 7914 = 107, 8414 = 116, A514 = 145, C614 = 174, 10414 = 200, 20814 = 400, 30C14 = 600, 34314 = 647, 68614 = 1294, 9C914 = 1941, 220514 = 5885, 274714 = 6923, 440A14 = 11770, C6D014 = 34286, 11B0D14 = 43329, 125C714 = 45059, 187CA14 = 61918, 1D24514 = 74541, 68AD614 = 254596

15

1315 = 18, 1E15 = 29, 2615 = 36, 2D15 = 43, 3915 = 54, 4C15 = 72, 7A15 = 115, A115 = 151, C715 = 187, 11915 = 249, 32D15 = 718, 55815 = 1208, 125315 = 3903, 1CC915 = 6264, 24A615 = 7806, 41C415 = 13909, 7EBA15 = 26950, C76B15 = 42176, 1C2E115 = 91786, 1D29615 = 95091, 1D95415 = 96604, 1E24B15 = 98396, 1E90915 = 99909, 4E2D915 = 250404, 8AB7415 = 441334, 10D1A415 = 803629, 1345B915 = 926049

16

1716 = 23, 1F16 = 31, 2E16 = 46, 3216 = 50, 4D16 = 77, 6416 = 100, 7B16 = 123, 9616 = 150, C816 = 200, FA16 = 250, 11216 = 274, 19116 = 401, 19916 = 409, 21016 = 528, 22416 = 548, 33616 = 822, 42016 = 1056, 44816 = 1096, 55A16 = 1370, 63016 = 1584, 66C16 = 1644, 77E16 = 1918, 84016 = 2112, A5016 = 2640, C6016 = 3168, E7016 = 3696, 148216 = 5250, 173616 = 5942, 2A0516 = 10757, 2BB816 = 11192, 2E6C16 = 11884, BE1F16 = 48671, 1603516 = 90165, 18F4516 = 102213, 27FCF16 = 163791, 2C06A16 = 180330

17

1G17 = 33, 2717 = 41, 2F17 = 49, 4317 = 71, 4E17 = 82, 5117 = 86, 7C17 = 131, 8617 = 142, A217 = 172, C917 = 213, F317 = 258, GC17 = 284, 10C17 = 301, 25A17 = 673, 35617 = 958, 6AC17 = 1916, 78417 = 2163, 95917 = 2695, B2E17 = 3227, EG817 = 4326, GDD17 = 4858, 10B217 = 5102, 305D17 = 14837, 3BB317 = 18108, 4B5017 = 22916, 4F9917 = 24149, 6BGG17 = 32945, 156F717 = 110082, 1BDE617 = 141565, 2474D17 = 188798, 306EG17 = 252551

18

1818 = 26, 1H18 = 35, 2G18 = 52, 4118 = 73, 4F18 = 87, 6518 = 113, 7D18 = 139, 8218 = 146, C318 = 219, CA18 = 226, G418 = 292, 14118 = 397, 16D18 = 445, 19318 = 489, 20718 = 655, 28218 = 794, 34818 = 1052, 3C318 = 1191, 40E18 = 1310, 48918 = 1449, 4G418 = 1588, 54F18 = 1707, 5CA18 = 1846, 68G18 = 2104, 6GB18 = 2243, 7CH18 = 2501, B7D18 = 3703, 118718 = 6307, 15G018 = 7740, 22GE18 = 12614, 41DG18 = 23902, 845AB18 = 864947

19

1219 = 21, 1419 = 23, 1I19 = 37, 2419 = 42, 2819 = 46, 2H19 = 55, 3619 = 63, 3C19 = 69, 4819 = 84, 4G19 = 92, 5A19 = 105, 6C19 = 126, 7E19 = 147, 8G19 = 168, 9I19 = 189, A319 = 193, CB19 = 239, 12719 = 406, 13F19 = 433, 24E19 = 812, 9E719 = 3522, C3719 = 4396, DCG19 = 4937, 1H1219 = 13017, 2E8519 = 18929, 3BF819 = 24841, FB3I19 = 106931, I1A319 = 124016, 27FFB19 = 314366, 4E99G19 = 620746, 6F42D19 = 886306

20

1120 = 21, 1920 = 29, 1J20 = 39, 2220 = 42, 2I20 = 58, 3320 = 63, 4420 = 84, 4H20 = 97, 5520 = 105, 6620 = 126, 7720 = 147, 7F20 = 155, 8820 = 168, 9920 = 189, AA20 = 210, BB20 = 231, CC20 = 252, DD20 = 273, EE20 = 294, FF20 = 315, GG20 = 336, HH20 = 357, II20 = 378, JJ20 = 399, 1C420 = 644, 43G20 = 1676, 48D20 = 1773, 4DA20 = 1870, 4I720 = 1967, 6E320 = 2683, 14E820 = 9888, 187F20 = 11355, 1GI720 = 14767, 2B3E20 = 20474, 2JF120 = 23901, 5BH320 = 44743, D40020 = 105600, FDI920 = 125569, H01320 = 136023, HFFF20 = 142315, 149C520 = 195845, 1CEF120 = 261901, 1FG2D20 = 286453, 2263E20 = 338474, 32GG420 = 502724, 3957120 = 554141

 

La tabella seguente mostra i numeri di Keith primi fino a 109 nelle basi fino a 20.

Base

Numeri di Keith primi

2

102 = 2, 112 = 3, 10001110012 = 569, 10101010112 = 683

3

103 = 3, 123 = 5, 213 = 7, 112013 = 127, 2210023 = 677, 1021021113 = 8329

4

114 = 5, 134 = 7, 1314 = 29, 2334 = 47, 13014 = 113, 22034 = 163, 100314 = 269, 223201034 = 44563, 1222023330330134 = 445379527, 2103220211102214 = 619222313

5

105 = 5, 215 = 11, 235 = 13, 1115 = 31, 1335 = 43, 2035 = 53, 2415 = 71

6

156 = 11, 1016 = 37, 15216 = 409, 151056 = 2417, 110015216 = 327001, 225243516 = 695659

7

167 = 13, 257 = 19, 111557 = 2833, 53564117 = 652933

8

138 = 11, 458 = 37, 738 = 59, 3738 = 251, 4018 = 257, 7118 = 457, 107038 = 4547, 217118 = 9161, 13435558 = 378733, 20034458 = 526117

9

189 = 17, 749 = 67, 1229 = 101, 1759 = 149, 2129 = 173, 11529 = 857, 163753829 = 8198651

10

19, 47, 61, 197, 1084051

11

1211 = 13, 2911 = 31, 7611 = 83

12

1112 = 13, 1512 = 17, 1B12 = 23, 3112 = 37, 12512 = 173, B18B12 = 19259, 1867112 = 35509, 4359758112 = 153728881

13

1013 = 13, 2513 = 31, 2B13 = 37, B9B13 = 1987, B8BB13 = 25673, 1A1AC76C13 = 111701147

14

2114 = 29, 4B14 = 67, 7914 = 107, 34314 = 647

15

1E15 = 29, 2D15 = 43, A115 = 151, 10D1A415 = 803629

16

1716 = 23, 1F16 = 31, 19116 = 401, 19916 = 409

17

2717 = 41, 4317 = 71, 7C17 = 131, 25A17 = 673

18

4118 = 73, 6518 = 113, 7D18 = 139, 14118 = 397, 6GB18 = 2243, 845AB18 = 864947

19

1419 = 23, 1I19 = 37, A319 = 193, CB19 = 239, 13F19 = 433, DCG19 = 4937, 3BF819 = 24841, 89BE719 = 1108543

20

1920 = 29, 4H20 = 97, 6E320 = 2683, 1GI720 = 14767, 1FG2D20 = 286453, 94E5320 = 1477703, 1HJC7320 = 6076943

 

Se la sequenza contiene il numero scritto a rovescio, il numero si dice revrepfigit, che potremo chiamare “numero di Keith inverso”. Per esempio, 341 è un numero di Keith inverso, perché iniziando con 3, 4 e 1 e sommando gli ultimi 3 numeri otteniamo la sequenza: 3, 4, 1, 8, 13, 22, 43, 78, 143.

In questo caso si escludono i numeri che terminano per zero, perché lo zero sarebbe eliminato scrivendo il numero a rovescio e si avrebbe un numero di meno cifre.

 

I numeri di Keith inversi inferiori a 109 sono: 12, 24, 36, 48, 52, 71, 341, 682, 1285, 5532, 8166, 17593, 28421, 74733, 90711, 759664, 901921, 1593583, 4808691, 6615651, 6738984, 8366363, 8422611, 26435142, 54734431, 57133931, 79112422, 89681171, 351247542, 428899438, 489044741, 578989902.

Qui trovate i numeri di Keith inversi noti (Bernardo Boncompagni e Anton Vrbae, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Anche questi non si sa se siano in numero finito o infinito.

 

I numeri di Keith inversi primi noti sono: 71, 1593583 e 54734431.

 

Esistono numeri di Keith inversi che sono tali in più basi, come 26, in base 8, 9 e 12, o 37, in base 6, 11 e 15, però potrebbero essere in numero finito in ogni combinazione di basi, perché gli esempi sembrano limitati a numeri piuttosto piccoli. Per esempio, il massimo numero di Keith noto in due basi da 2 a 20 è 1444 (in base 13 e 15) e non ve ne sono altri inferiori a 109.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosit√† matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Keith, Mike;  "Repfigit Numbers" in Journal of Recreational Mathematics, n. 19, 1987.
  • Pickover, Clifford A.;  "All Known Replicating Fibonacci Digits Less Than One Billion" in Journal of Recreational Mathematics, Vol. 22, n. 3, p. 176, 1990.
  • Sherriff, K.;  "Computing Replicating Fibonacci Digits" in Journal of Recreational Mathematics, n. 26, 1994.

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