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Kaprekar (numeri di)

Rappresentazione dei numeri 

Dattatraya Ramchandra Kaprekar (Dahanu, presso Mumbay, 1905 – Devlali, India, 1986) individuò nel 1980 una particolare categoria di numeri naturali, che da allora porta il suo nome.

Un numero n di k cifre si dice “numero di Kaprekar” se scomponendo il suo quadrato in due parti, una formata dalle k cifre di destra e l’altro dalle rimanenti, e sommandole, si ottiene n. Per esempio, 45 e 297 sono numeri di Kaprekar, perché 452 = 2025 e 20 + 25 = 45, 2972 = 88209 e 88 + 209 = 297.

 

Sono anche stati esaminati i numeri di Kaprekar in basi diverse da 10. Sono infiniti in qualsiasi base, perché tutti gli interi della forma bn – 1 sono numeri di Kaprekar in base b.

 

Se n è un numero di Kaprekar di k cifre in base b, anche bkn lo è e n2n è un multiplo di bk – 1. Per esempio, in base 10 297 è un numero di Kaprekar, quindi lo è anche 103 – 297 = 703 e 7032 – 703 = 493506 e 2972 – 297 = 87912 sono multipli di 999.

 

Ogni numero perfetto pari è un numero di Kaprekar in base 2 (D. Iannucci, 2000).

 

Nel 1981 M. Charosh trovò un inatteso legame tra i numeri di Kaprekar e i divisori unitari. Un divisore d di n si dice unitario se dn diviso d non hanno divisori comuni; se n ha esattamente p divisori primi distinti, i suoi divisori unitari sono 2p.

Charosh dimostrò che un intero n di k cifre è numero di Kaprekar in base b se e solo se nbk – 1 o Condizione necessaria e sufficiente perché un intero n di k cifre sia un numero di Kaprekar in base b per un divisore unitario d di bk – 1 diverso da 1 e bk – 1.

Per esempio, i divisori unitari di 103 – 1 = 999 sono 37 e 27; se prendiamo d = 27, l’inverso di 27 modulo 37 (ossia il minimo intero m tale che 27m ≡ 1 mod 37) è 11 e 27 • 11 = 297 è un numero di Kaprekar.

Per trovare rapidamente i numeri di Kaprekar di k cifre in base b basta quindi esaminare i divisori unitari di bk – 1.

 

La tabella seguente mostra i numeri di Kaprekar fino a 10000 nelle basi fino a 20.

Base

Numeri di Kaprekar

2

12 = 1, 112 = 3, 1102 = 6, 1112 = 7, 10102 = 10, 11112 = 15, 111002 = 28, 111112 = 31, 1001002 = 36, 1100112 = 51, 1111112 = 63, 10101012 = 85, 10110112 = 91, 11110002 = 120, 11111112 = 127, 100010002 = 136, 100100112 = 147, 101010112 = 171, 101110112 = 187, 110011012 = 205, 111111112 = 255, 1010101102 = 342, 1010111112 = 351, 1011011012 = 365, 1111100002 = 496, 1111111112 = 511, 10000100002 = 528, 10101010102 = 682, 10110010012 = 713, 11001101002 = 820, 11010001012 = 837, 11100011102 = 910, 11111111112 = 1023, 100100100102 = 1170, 100111011012 = 1261, 101001101112 = 1335, 111111000002 = 2016, 111111111112 = 2047, 1000001000002 = 2080, 1010011010112 = 2667, 1011000100112 = 2835, 1011011011102 = 2926, 1100011100102 = 3186, 1100110011002 = 3276, 1101100100012 = 3473, 1110101000012 = 3745, 1111101001012 = 4005, 1111111111112 = 4095, 10101010101012 = 5461, 11001000110102 = 6426, 11111110000002 = 8128, 11111111111112 = 8191, 100000010000002 = 8256

3

13 = 1, 23 = 2, 223 = 8, 1113 = 13, 1123 = 14, 1213 = 16, 2223 = 26, 21023 = 65, 22223 = 80, 102203 = 105, 111113 = 121, 111123 = 122, 200213 = 169, 222223 = 242, 1010103 = 273, 1212203 = 456, 2022023 = 560, 2120103 = 624, 2222223 = 728, 11012223 = 1025, 11111113 = 1093, 11111123 = 1094, 20120213 = 1600, 22222223 = 2186, 101210203 = 2625, 110110123 = 3029, 121012103 = 3936, 202102023 = 4961, 211210013 = 5536, 222222223 = 6560, 1001001003 = 6813, 1111111113 = 9841, 1111111123 = 9842

4

14 = 1, 34 = 3, 124 = 6, 224 = 10, 334 = 15, 1304 = 28, 2104 = 36, 3034 = 51, 3334 = 63, 11114 = 85, 11234 = 91, 13204 = 120, 20204 = 136, 22234 = 171, 23234 = 187, 30314 = 205, 33334 = 255, 111124 = 342, 111334 = 351, 133004 = 496, 201004 = 528, 222224 = 682, 303104 = 820, 310114 = 837, 320324 = 910, 333334 = 1023, 1021024 = 1170, 1032314 = 1261, 1332004 = 2016, 2002004 = 2080, 2212234 = 2667, 2301034 = 2835, 2312324 = 2926, 3013024 = 3186, 3030304 = 3276, 3222014 = 3745, 3322114 = 4005, 3333334 = 4095, 11111114 = 5461, 12101224 = 6426, 13330004 = 8128, 20010004 = 8256

5

15 = 1, 45 = 4, 145 = 9, 315 = 16, 445 = 24, 1125 = 32, 3335 = 93, 4445 = 124, 10345 = 144, 13135 = 208, 13325 = 217, 20435 = 273, 21105 = 280, 24025 = 352, 31325 = 417, 34115 = 481, 44445 = 624, 111115 = 781, 121445 = 924, 211405 = 1420, 233105 = 1705, 234225 = 1737, 303035 = 1953, 310315 = 2016, 323015 = 2201, 324135 = 2233, 333345 = 2344, 444445 = 3124, 1113345 = 3969

6

16 = 1, 56 = 5, 236 = 15, 336 = 21, 556 = 35, 2226 = 86, 3346 = 130, 5556 = 215, 11126 = 260, 14156 = 371, 25306 = 630, 30306 = 666, 41416 = 925, 44446 = 1036, 55556 = 1295, 205446 = 2800, 350126 = 4976, 505056 = 6665, 555556 = 7775, 1111116 = 9331

7

17 = 1, 37 = 3, 47 = 4, 67 = 6, 227 = 16, 257 = 19, 457 = 33, 667 = 48, 3067 = 153, 3337 = 171, 3347 = 172, 3617 = 190, 4417 = 225, 6427 = 324, 6667 = 342, 14527 = 576, 22237 = 801, 44447 = 1600, 52157 = 1825, 62267 = 2176, 66667 = 2400, 111127 = 2802, 152617 = 4257, 222227 = 5602, 333337 = 8403, 333347 = 8404

8

18 = 1, 78 = 7, 348 = 28, 448 = 36, 778 = 63, 1338 = 91, 2238 = 147, 5378 = 351, 5558 = 365, 7778 = 511, 14648 = 820, 16168 = 910, 22228 = 1170, 23558 = 1261, 37408 = 2016, 40408 = 2080, 54238 = 2835, 55568 = 2926, 61628 = 3186, 63148 = 3276, 66218 = 3473, 72418 = 3745, 76458 = 4005, 77778 = 4095

9

19 = 1, 89 = 8, 179 = 16, 729 = 65, 889 = 80, 1269 = 105, 2079 = 169, 3339 = 273, 5569 = 456, 6829 = 560, 7639 = 624, 8889 = 728, 13589 = 1025, 21679 = 1600, 35369 = 2625, 53539 = 3936, 67229 = 4961, 75319 = 5536, 88889 = 6560

10

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999

11

111 = 1, 511 = 5, 611 = 6, A11 = 10, 1511 = 16, 2311 = 25, 3711 = 40, 7411 = 81, 8811 = 96, 9611 = 105, AA11 = 120, 16311 = 190, 18111 = 210, 22211 = 266, 33411 = 400, 38511 = 456, 3A311 = 476, 55511 = 665, 55611 = 666, 70811 = 855, 72611 = 875, 77711 = 931, 80811 = 976, 88911 = 1065, 92A11 = 1121, 94811 = 1141, A6511 = 1281, AAA11 = 1330, 278311 = 3600, 349011 = 4576, 373811 = 4881, 399411 = 5185, 444411 = 5856, 666711 = 8785, 711711 = 9456, 737311 = 9760

12

112 = 1, B12 = 11, 5612 = 66, 6612 = 78, BB12 = 143, 44412 = 628, 77812 = 1100, BBB12 = 1727, 12AA12 = 2146, 164012 = 2640, 204612 = 3510, 292912 = 4785, 333312 = 5655, 497312 = 8295

13

113 = 1, 413 = 4, 913 = 9, C13 = 12, 3A13 = 49, 4513 = 57, 4C13 = 64, 8113 = 105, 8813 = 112, 9313 = 120, CC13 = 168, 15A13 = 244, 33313 = 549, 34213 = 561, 49013 = 793, 84013 = 1404, 99A13 = 1648, B3713 = 1905, B7313 = 1953, CCC13 = 2196, 147C13 = 2976, 1B1C13 = 4081, 216013 = 4641, 262613 = 5440, 295513 = 5985, 329A13 = 7056, 444413 = 9520, 448913 = 9577

14

114 = 1, D14 = 13, 2C14 = 40, 4A14 = 66, 6714 = 91, 7714 = 105, 9414 = 130, B214 = 156, DD14 = 195, 44514 = 845, 99914 = 1899, DDD14 = 2743, 161614 = 3940, 252514 = 6501, 333414 = 8866

15

115 = 1, 715 = 7, 815 = 8, E15 = 14, 4415 = 64, AB15 = 161, EE15 = 224, 22315 = 483, 55515 = 1205, 77715 = 1687, 77815 = 1688, 99A15 = 2170, CCC15 = 2892, EEE15 = 3374, 222215 = 7232

16

116 = 1, 616 = 6, A16 = 10, F16 = 15, 3316 = 51, 5516 = 85, 5B16 = 91, 7816 = 120, 8816 = 136, AB16 = 171, CD16 = 205, FF16 = 255, 15F16 = 351, 33416 = 820, 38E16 = 910, 49216 = 1170, 4ED16 = 1261, 7E016 = 2016, 82016 = 2080, B1316 = 2835, B6E16 = 2926, C7216 = 3186, CCC16 = 3276, EA116 = 3745, FA516 = 4005, FFF16 = 4095, 191A16 = 6426

17

117 = 1, G17 = 16, 3D17 = 64, D417 = 225, GG17 = 288, 55617 = 1536, BBB17 = 3377, GGG17 = 4912, 18BD17 = 7425, 1F1F17 = 9280

18

118 = 1, H18 = 17, 8918 = 153, 9918 = 171, HH18 = 323, 66618 = 2058, BBC18 = 3774, CH618 = 4200, HHH18 = 5831

19

119 = 1, 919 = 9, A19 = 10, I19 = 18, 4519 = 81, 7319 = 136, 7C19 = 145, B719 = 216, BG19 = 225, EE19 = 280, II19 = 360, 39G19 = 1270, 5ID19 = 2160, 99919 = 3429, 99A19 = 3430, D0619 = 4699, F9319 = 5589, HA919 = 6336, III19 = 6858, 13AD19 = 8145

20

120 = 1, J20 = 19, 2H20 = 57, 6D20 = 133, 9A20 = 190, AA20 = 210, D720 = 267, H320 = 343, JJ20 = 399, 66720 = 2527, DDD20 = 5473, JJJ20 = 7999

 

Il concetto può anche essere generalizzato utilizzando, al posto dei quadrati, cubi o potenze superiori, dividendo la potenza in tante parti quanto vale l’esponente; le parti devono avere tutte lo stesso numero di cifre del numero di partenza, tranne al massimo la prima a sinistra, che può essere di lunghezza inferiore. Per esempio, 5554 appartiene a questa categoria, perché 55543 = 171323771464 e 1713 + 2377 + 1464 = 5554. Si parla in questi casi di “tripli di Kaprekar”, “quadrupli di Kaprekar” ecc..

 

La tabella mostra i minimi numeri di Kaprekar fino a 10 cifre per le potenze sino alla quinta (The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Esponente

Numeri di Kaprekar

2

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4950, 5050, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170, 538461, 609687, 643357, 648648, 670033, 681318, 791505, 812890, 818181, 851851, 857143, 961038, 994708, 999999, 4444444, 4927941, 5072059, 5555556, 9372385, 9999999, 11111112, 13641364, 16590564, 19273023, 19773073, 24752475, 25252525, 30884184, 36363636, 38883889, 44363341, 44525548, 49995000, 50005000, 55474452, 55636659, 61116111, 63636364, 69115816, 74747475, 75247525, 80226927, 80726977, 83409436, 86358636, 88888888, 91838088, 94520547, 99999999, 234567901, 332999667, 432432432, 567567568, 667000333, 765432099, 999999999, 1111111111, 1776299581, 2020202020, 3846956652, 3888938889, 4090859091, 4132841328, 4756047561, 4798029798, 4958067763, 4999950000, 5000050000, 5041932237, 5201970202, 5243952439, 5867158672, 5909140909, 6111061111, 6153043348, 7979797980, 8223700419, 8888888889, 9090909091, 9132791328, 9334811530, 9756097560, 9999999999

3

1, 8, 10, 45, 297, 2322, 2728, 4445, 4544, 4949, 5049, 5455, 5554, 7172, 27100, 44443, 55556, 60434, 77778, 143857, 208494, 226071, 279720, 313390, 324675, 329967, 346060, 368928, 395604, 422577, 427868, 461539, 472823, 478115, 488214, 494208, 495208, 499500, 500500, 517076, 533170, 543752, 559846, 565137, 598807, 664741, 670032, 720279, 757835, 791505, 807598, 825175, 829466, 856142, 966329, 973323, 4444443, 4927940, 5072058, 5555555, 5555556, 5699673, 6183170, 8888887, 11273318, 13793570, 17090613, 21803275, 22293325, 24752475, 25242525, 25252524, 27272728, 27282727, 28201724, 30731977, 33404436, 36363635, 38383839, 38546045, 38883889, 39046095, 39546145, 41843088, 44025497, 44363340, 44525547, 45025597, 47045800, 49842793, 49995000, 50005000, 50657256, 55474451, 55474452, 55484452, 56136708, 58156911, 58656961, 60453854, 61453954, 63636364, 63798570, 64298620, 66747770, 69278022, 69768072, 69778072, 72227222, 72717272, 72727271, 74747475, 74909681, 75409731, 77706674, 77767777, 77777776, 80726976, 80726977, 80889183, 88878888, 88888888, 93868290, 197864531, 332999667, 667000332, 7654320983

4

1, 7, 45, 55, 67, 100, 433, 4950, 5050, 38212, 65068, 190576, 295075, 299035, 310024, 336700, 343333, 394615, 414558, 433566, 448228, 450550, 467236, 475497, 476191, 486486, 499500, 500500, 523513, 534898, 549550, 599743, 622414, 628408, 647362, 652015, 671671, 677755, 705331, 731368, 734932, 765963, 772200, 803539, 820612, 826606, 849520, 934066, 25280200, 33333334, 44525548, 49995000, 50005000, 55474452, 58585858, 61643836, 77696674, 332999667, 334333333, 811144477, 3577235773

5

1, 10, 1000, 7776, 27100, 73440, 95120, 500499, 505791, 540539, 598697, 665335, 697598, 732347, 7607610, 37944478, 46945205, 54995500, 55216205, 56607166

 

Qui trovate i numeri di Kaprekar fino a 20 cifre (T.D. Noe, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org). 

 

Alcuni Autori rendono meno restrittiva la regola, permettendo di spezzare la potenza in qualsiasi punto, non solo ogni k cifre (se k è il numero di cifre del numero iniziale); questo fa rientrare nella categoria vari altri interi, tra i quali alcuni che contengono zeri nelle potenze, come 4879, perché 48792 = 23804641 e 238 + 04641 = 4879.

Con questa definizioneperò si rompe il legame biunivoco con i divisori unitari e la ricerca diviene più complicata.

In questo casocomunemente si rispetta la regola di Kaprekar di escludere i casi nei quali il gruppo di cifre di destra vale zero. Per esempio, non si considera valido 100, anche se il suo quadrato, 10000, può essere spezzato in due parti, 100 e 00, che sommate danno 100.

 

Accettando la definizione allargata, all’elenco dei numeri di Kaprekar fino a 10 cifre vanno aggiunti i seguenti: 4879, 5292, 38962, 627615, 5479453, 8161912, 243902440, 665188470, 867208672, 909090909, 2646002646, 7359343993, 8975672343.

Qui trovate i numeri di Kaprekar fino a 20 cifre, secondo la definizione allargata (T.D. Noe, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

La definizione è stata estesa anche ai numeri triangolari, dividendoli in due parti come per i quadrati. I minimi interi con questa proprietà sono: 9, 10, 18, 19, 45, 55, 99, 100, 144, 154, 198, 199, 297, 703, 999, 1000, 1296, 1702, 1998, 1999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 10000, 12222, 12727, 14949, 15049, 17271, 17344, 17776, 19998, 19999, 22222, 38962, 77778 (Giovanni Resta, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org). Per esempio, T18 = 171 e 17 + 1 = 18.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Charosh, M.;  "Some Applications of Casting Out 999...'s" in Journal of Recreational Mathematics, vol. 14, n. 2 (1981 – 82), pag. 111 – 118.
  • Dörrie, Heinrich;  100 Great Problems of Elementary Mathematics, New York, Dover, 1965 -

    Una traduzione inglese della quinta edizione di Triumph der Mathematik: Hundert berühmte Probleme aus zwei Jahrtausenden mathematischer Kultur, Würzburg, Physica Verlag, 1958. La prima edizione, ormai introvabile, risale al 1932.

  • Iannucci, Douglas E.;  "The Kaprekar Numbers" in Journal of Integer Sequences, Vol. 3, 2000.
  • Kaprekar, Dattatraya Ramchandra;  "On Kaprekar Numbers" in Journal of Recreational Mathematics, n. 13, 1980 – 1981.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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